Punkte eines Funktionsgraphen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x^4 - 8x^2 + 16

Führen Sie eine Kurvendiskussion bestehend aus der Bestimmung der Nullstellen, der Extrempunkte und Sattelpunkte, dem Monotonieverhalten und der Symmetrie durch.

Answer 1

Hallo,

Nullstellen: Setze f(x) = 0 und löse nach x auf

Extrem-/Sattelpunkte: Setze f'(x) = 0 und löse nach x auf. Prüfe dann z.B. anhand dfer 2. Ableitung, ob es sich um einen Extrem- oder Sattelpunkt handelt. Bestimme die y-Koordinate(n), indem du deine Lösung(en) in die Ausgangsfunktion einsetzt.

Monotoniekriterium
\( f^{\prime}(x)<0 \) im Intervall I \( \Rightarrow \) Der Graph von \( f \) fällt streng monoton in \( I \).
\( f^{\prime}(x)>0 \) im Intervall I \( \Rightarrow \) Der Graph von \( f \) steigt streng monoton in \( I \).

Symmetrie: Prüfe, ob die Funktion nur gerade, nur ungerade oder gerade und ungerade Exponenten hat (wobei es in diesem Fall nicht viel zu prüfen gibt ;-).

Gruß, Silvia

Answer 2

Nullstellen: 0= x⁴ - 8x² + 16; biquadratische Gleichung mit den Lösungen x_1/2=±2.

Extrempunkte: f '(x)=4x³-16x=4x(x²-4). 0=4x(x²-4) mit den Lösungen x_1/2=±2 sowie x₃=0. Minima (2|0) und (-2|0), Maximum (0|16)

Sattelpunkte gibt es nicht, da alle 3 Punkte mit waagerechter Steigung gefunden wurden.

Monotonieverhalten: Vor dem linken Minimum fallend, bis zum Maximum steigend, zwischen Maximum und rechtem Minimum fallend, dann steigend.

Symmetrie: Achsensymmetrie zur y-Achse, da alle Exponenten gerade.