Kann mit jemand einen Ansatz geben und diesen auch erklären?

Question

Aufgabe:

Geben Sie ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen an, das die folgende Lösungsmenge hat und bei dem alle Koeffizienten von null verschieden sind.

a) L=(3t/2t/ t) b) L= (5/t/t+1)

Problem/Ansatz:

Ich weiß überhaupt nicht wie ich ein LGS aufstellen kann, wenn die Lösungsmenge unendlich ist. Kann mir jemand einen Ansatz geben und diesen auch erklären?

Answer 1

Hallo,

zu a)

Die Lösungsmenge beschreibt geometrisch eine Gerade g.

Die drei gesuchten Gleichungen beschreiben drei Ebenen, die sich in der Geraden g schneiden.

Die Koordinatenform einer Ebenengleichung sieht so aus:

E: ax+by+cz=d

Wenn zwei Punkte der Geraden in der Ebene liegen, gilt das für alle Punkte der Geraden.

Für t=0 erhalten wir den Punkt (0|0|0) und für t=1 den Punkt

(3|2|1).

Nun setze ich die Punkte in die Ebenengleichung ein.

a•0+b•0+c•0=d → d=0

3a+2b+c=0

Um die gesuchten Gleichungen zu erhalten, wähle ich a und b beliebig und rechne c aus.

a=1, b=1 --> 3•1+2•1-5=0 → c=-5

E1: x+y-5z=0

Die anderen Gleichungen kannst du genauso finden.

Z.B.

E2: 2x+y-8z=0

E3: x+2y-7z=0

:-)

Answer 2

Aloha :)

zu a) Wir können \(t\in\mathbb R\) frei wählen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3t\\2t\\t\end{pmatrix}\quad\stackrel{(t=z)}{\implies}\quad\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3z\\2z\\z\end{pmatrix}$$Ein mögliches Gleichungssystem mit der angegebenen Lösung ist also:$$x=3z\quad;\quad y=2z\quad;\quad z=z$$

zu b) Wieder können wir \(t\in\mathbb R\) frei wählen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\t\\t+1\end{pmatrix}\quad\stackrel{(t=y)}{\implies}\quad\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\y\\y+1\end{pmatrix}$$Ein mögliches Gleichungssystem mit der angegebenen Lösung ist also:$$x=5\quad;\quad y=y\quad;\quad z=y+1$$

Comments

Bei a) außerdem noch   x = 1,5y

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Nein, das erfüllt leider nicht die Aufgabenstellung.

Es sind 3 Gleichungen und 3 Unbekannte gefordert.

\(x=1,5y\) ist eine Gleichung und 2 Unbekannte.

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Kennst du die Bedeutung des Wortes "außerdem" nicht ?

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Hallo,

... bei dem alle Koeffizienten von null verschieden sind.

Ist das bei deiner Lösung erfüllt?

Answer 3

Wenn die Lösung L = (5 | t | t + 1) ist dann gilt

x = 5
y = t
z = t + 1

Zunächst eliminieren wir das t
I ; II - III

x = 5
y - z = -1

Davon kann ich jetzt Linearkombinationen bilden
I + II ; I + 2II ; I - II

x + y - z = 4
x + 2y - 2z = 3
x - y + z = 6