Aloha :)
Wir versuchen beim Gauß-Verfahren so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten:
$$\begin{array}{rrrr|r|l}x & y & z & t & = &\text{Aktion}\\\hline4 & 1 & -2 & 1 & 1 &-\text{Zeile }2\\2 & 1 & 3 & -2 & 3 &\\\hline2 & 0 & -5 & 3 & -2 &\colon2\\2 & 1 & 3 & -2 & 3 &-\text{Zeile 1}\\\hline\\[-2ex]\boxed{1}& 0 & -\frac52 & \frac32 & -1 &\\[0.5ex]0 & \boxed{1} & 8 & -5 & 5 &\\[1ex]\hline\hline\end{array}$$
Wir erhalten 2 Gleichungen, die wir nach der Variablen mit der einen Eins in der Spalte umstellen:$$x=-1+\frac52z-\frac32t\quad;\quad y=5-8z+5t$$
Damit können wir nun alle Lösungsvektoren angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+\frac52z-\frac32t\\5-8z+5t\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\0\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}\frac52\\-8\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-\frac32\\5\\0\\1\end{pmatrix}$$
Wenn du möchtest, kannst du die beiden Richtungsvektoren der Lösung noch neu skalieren:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\0\\0\end{pmatrix}+\frac z2\begin{pmatrix}5\\-16\\2\\0\end{pmatrix}+\frac t2\begin{pmatrix}-3\\10\\0\\2\end{pmatrix}$$Da \(z\) und \(t\) unabhängig voneinander und beliebig aus \(\mathbb R\) gewählt werden können, kannst du auch zwei neue Variablen \(\lambda=\frac z2\) und \(\mu=\frac t2\) definieren und die Lösung so angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}5\\-16\\2\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-3\\10\\0\\2\end{pmatrix}\quad;\quad \lambda,\mu\in\mathbb R$$
