Lösungmenge bestimmen von der Dreifachungleichung

Question

P wie bestimme ich hiervon die Lösungsmenge ? Ich hatte eine Fallunterscheidung für den Betrag gemacht, aber komme irgendwie nicht weiter... !

Answer 1

Hallo Judith,

du kannst das in zwei Ungleichungen zerlegen:

-1  ≤  (x-1)² - 2   und   (x-1)² - 2  ≤  |4x -12| + 1

Links ergibt sich die Lösungsmenge  L₁  = ] - ∞ : 0 ] ∪ [ 2 ; ∞ [

Rechts musst du die Fallunterscheidung  x ≥ 3  [ 4x-12≥0 , | | entfällt ]  

                          bzw. x < 3  [ | | wird durch Minuszeichen ersetzt ].

Im 1.Fall ergibt sich L₂₁ = {  },    im 2.Fall   L₂₂ = [ - √15 - 1 ; √15 - 1 ]    

                          →  L₂  =  L₂₁ ∪  L₂₂  =  [ - √15 - 1 ; √15 - 1 ]

Damit  ergibt sich die Gesamtlösungsmenge

L  =  L₁ ∩ L₂  =   [ - √15 - 1 ; 0 ]   ∪  [ 2 ; √15 - 1 ]

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank ! Noch eine Frage- Wie kommt man aber auf die Wurzel 15? Wenn ich die PQ Formel verwende, komme ich auf Wurzel 13...

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(x - 1)² - 2 ≤ - (4·x - 12) + 1 

Klammern auflösen und Zusammenfassen ergibt

⇔   x² + 2·x - 14 ≤ 0

Für die Nullstellen von des Terms  x² + 2·x - 14  ergibt die pq-Formel

 x₁  =  - √15 - 1  ;   x2 = √15 - 1  

Dazwischen ist der Parabelterm negativ, also ≤ 0

Answer 2

Teile die Dreifachungleichung in 2 Ungleichungen auf und bestimme zu jeder die Lösungsmenge. -1≤(x-1)²-2 Besteht aus allen Zahlen, die nicht zwischen 0 und 2 liegen. (x-1)²-2≤|4x-12|+1 gilt für -5≤x≤3. Die Schnittmenge dieser beiden Mengen erfüllt beide Ungleichungen.