Ableitung gebrochen-rationale Funktion

Question

Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion

(2x^2-5x+2) / (x^2-x-2)

Problem/Ansatz:

Hier mein Problem: Ich bin mir über die Richtigkeit meiner Ableitung f'(x) unsicher und dementsprechend auch mit der von f''(x).

Mein Ansatz: Ich habe die Funktion mit der Asymptote die ich nach der Polynomdivision bekommen habe als "Basis" genommen. Sie lautet: 2 + (-3x+6) / (x^2-x-2)

Als Ableitungsansatz wurde die Quotientenregel verwendet:

u= -3x+6 u'=-3
v=x^2-x-2 v'=2x-1

anhand des folgenden Ansatzes kommt bei meiner ersten Ableitung folgendes hinaus:

f'(x)= (-12x+12) / ((x^2-x-2))^2

Wenn ich Ableitungsrechner zum Vergleich ziehe, bekomme ich leider eine ganz andere Ableitung als Ergebnisvorschlag und dementsprechend wollte ich hier fragen ob mein Ansatz, also mit dem Ergebnis der Polynomdivision abzuleiten falsch ist oder sich der Fehler beim ausrechnen ergeben hat.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=\frac{2x^2-5x+2}{x^2-x-2}=\frac{2x^2-2x-4-3x+6}{x^2-x-2}=\frac{2x^2-2x-4}{x^2-x-2}+\frac{-3x+6}{x^2-x-2}$$$$f(x)=2+\frac{-3x+6}{x^2-x-2}$$Bis dahin hast du also schon mal richtig gerechnet.

Du hättest aber noch weiter vereinfachen können, denn:$$f(x)=2+\frac{-3(x-2)}{(x+1)(x-2)}=2-\frac{3}{x+1}$$Die Ableitung davon ist:$$f'(x)=\frac{3}{(x+1)^2}$$

Du hast dich in deiner Rechnung irgendwo verrechnet, denn dein Ansatz stimmt:$$f'(x)=\frac{(-3)(x^2-x-2)-(-3x+6)(2x-1)}{(x^2-x-2)^2}=\frac{3x^2-12x+12}{(x^2-x-2)^2}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{3(x^2-4x+4)}{(\,(x+1)(x-2)\,)^2}=\frac{3(x-2)^2}{(x+1)^2(x-2)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}$$

Comments

Danke für die Antwort.
Ich habe gerade meine Rechnungen nochmal mit deinen Verglichen und sehe gerade, dass ich aus versehen -3*2x^2 gerechnet habe, dadurch kam mein Fehler zustande.

Nochmals vielen dank für ihre Hilfe!

Answer 2

\( f(x)=\frac{2 x^{2}-5 x+2}{x^{2}-x-2} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{(4 x-5) \cdot\left(x^{2}-x-2\right)-\left(2 x^{2}-5 x+2\right) \cdot(2 x-1)}{\left(x^{2}-x-2\right)^{2}} \)