Wie berechnet (!) man die Wahrscheinlichkeit, dass man aus W Würfen genau x1 mal eine Seite nk würfelt?

Question

Ich habe keine feste "Aufgabe" aber eher ein generelles Problem:


Man hat einen Gegenstand mit k Seiten. Man wirft diesen Gegenstand W mal. Die Wahrscheinlichkeiten, die Seiten n₁, n₂, ... n_k zu "würfeln" sind unterschiedlich.
Wie berechnet (!) man die Wahrscheinlichkeit, dass man aus W Würfen genau x1  mal eine Seite n_k würfelt?

Wie berechnet man die Warscheinlichkeit, dass man aus W Würfen genau oder mehr als x1 mal eine Seite nk würfelt?

Wie berechnet man die Warscheinlichkeit, dass man aus W Würfen genau x1 mal eine Seite nk und genau x2 mal eine Seite nk2 würfelt?

Kontext:
In der Schule haben wir gerade Wahrscheinlichkeiten und Aufgaben, wie ich mir sie oben ausgedacht habe, und ich will das ausrechnen anstatt komische Baumdiagramme zu malen.

Answer 1

Wie berechnet (!) man die Wahrscheinlichkeit, dass man aus W Würfen genau x1  mal eine Seite nk würfelt?

Die Seite nk habe die Wahrscheinlichkeit p, dann gibt es "in den

komischen Bäumen" \(   \begin{pmatrix} w\\x1 \end{pmatrix}   \)   (Binomialkoeffizient) Pfade,

die genau x1-mal das nk (mit Wahrscheinlichkeit p) enthalten, und die anderen

Einträge in jedem dieser Pfade sind eben verschieden von nk, haben also

Wahrscheinlichkeit 1-p. Somit gilt

\(  p(X=x1) = \begin{pmatrix} w\\x1 \end{pmatrix} \cdot p^{x1}*(1-p)^{w-x1}  \)

Comments

vielen Dank! :D Das hat mir sehr geholfen :D

Answer 2

Binomialverteilung:

a) P(X=1) = (Wüber1)* (1/k)*(1-1/k)^(W-1)

1/k ist die WKT der Seite nk

b) P(X>=1) = 1-P(X=0) = (1-1/k)^W

Comments

Die Wahrscheinlichkeiten, die Seiten n1, n2, ... nk zu "würfeln" sind unterschiedlich.