Rechenweg für mich unklar

Question

Aufgabe:

        5*(e^-0.3x-e^-4x)= 2.8

X müsste 0.25 sein, jedoch komme ich nicht auf den richtigen Rechenweg, vielen Dank

Comments

5*(e^-0.3x-e^-4x)= 2.8

Du meinst wahrscheinlich eher

5*(e^(-0.3x)-e^(-4x))= 2.8

oder sonst etwas?

Answer 1

Die Rechnung läßt sich algebraisch nicht lösen.
Hier kann z.B. das Newton-Verfahren angewendet
werden.
x ≈  1.93

Answer 2

Hm,

auf den ersten Blick würde ich eine numerische Lösung sehen und keinen Rechenweg

Comments

Die Funktion soll = 2.8 nicht -2,8 sein, aber danke

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Wenn die rechte Seite zu einer Funktion = 0 umgestellt wird dann schon!

Answer 3

Aloha :)

Ich habe mal die beiden Funktionen$$f(x)=5\left(e^{-0,3x}-e^{-4x}\right)\quad\text{und}\quad g(x)=2,8$$in ein Koordinatensystem geplottet.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 5·(e^(-0,3x)-e^(-4x))f₂(x) = 2,8Zoom: x(0…4) y(0…4)

Wir erkennen zwei Schnittpunkte, einen bei $x\approx0,25$, den anderen bei $x\approx1,9$.

Eine geschlossene Lösung des Problems ist leider nicht möglich. Wir können aber die Funktion $f(x)$ an einem Punkt $x_0$ durch ihre Tangente annähern:$$t(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Dann berechnen wir, bei welchem $x$-Wert diese Tangente den Funktionswert $2,8$ hat:$$t(x)\stackrel!=2,8\implies$$$$f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)=2,8\implies$$$$x=x_0+\frac{2,8-f(x_0)}{f'(x_0)}$$Dieses $x$ verwenden wir nun als neuen Näherungspunkt $x_0$ und wiederholen die ganze Prozedur. Das gibt dann eine Rekursionsformel:$$x_{n+1}=x_n+\frac{2,8-f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n+\frac{2,8-5\left(e^{-0,3x_n}-e^{-4x_n}\right)}{5\left(-0,3e^{-0,3x_n}+4e^{-4x_n}\right)}$$

Ich habe das mal in Excel eingegeben:

Wir finden mit dem Verfahren beide Schnittstellen:$$x_1=0,250113973\quad;\quad x_2=1,930088269$$