a) Das Integral von -1 bis 4 muss gleich 1 sein.
Das entspricht der Dreiecksfläche und
nach A = g*h/2 = 5*h/2 = 1
muss 5h = 2 also h=0,4 sein.
Damit ist das Stück von x=-1 bis x=0 die
Strecke mit der Steigung 0,4 und dem y-Achsenabschnitt 0,4
also y= 0,4x+0,4
Und das 2. Stück hat die Steigung -0,4/4 =-0,1 also
hier y = -0,1x + 0,4 .
c) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,4x+0,4\text { für }-1<x \leq 0 \\ -0,1x+0,4 \text { für } & 0<x \leq 4\\ 0 \text { sonst} \end{array}\right. \)
b)i. genau zum Beginn der Stunde kommt \( (x=0) \) p=0
ii. nach dem Beginn der Vorlesung eintrifft \( (x>0) \) p=0,8
iii. \( \mathrm{zu} \) früh kommt \( (x<0) \) p=0,2
iv. um mindestens 2 Minuten zu spät kommt p=0,2
v. um mindestens 2 Minuten zu spät kommt unter der Bedingung, dass sie zu spät kommt p=0,2/0,8 = 0,25
d) Erwartungswert für x
$$\mu_X=\int\limits_{-1}^{4}x\cdot f(x)dx=\int\limits_{-1}^{0}x\cdot(0,4x+0,4)dx+\int\limits_{0}^{4}x\cdot(-0,1x+0,4)dx$$
$$=\left[0,1333x^3+0,2x^2\right]_{-1}^{0}+\left[-0,0333x^3+0,2x^2\right]_{0}^{4}=-0,0667+1,0667=1$$
