Hoch- und Tiefpunkte sowie Sattelpunkte

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie rechnerisch Hoch-, Tief- bzw. Sattelpunkte des Graphen von f. Skizzieren Sie anschließend den groben Verlauf des Graphen von \( f \) mithilfe dieser Informationen.

g) \( f(x)=-\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}-4 \)

Problem/Ansatz:

Wie funktioniert diese Aufgabe,beziehungsweise wie fängt man an Lösungen wären hilfreich

Comments

Wie funktioniert diese Aufgabe,beziehungsweise wie fängt man an Lösungen wären hilfreich

Sie funktioniert bestimmt nicht so, dass du hier 10 Aufgaben reinknallst und hoffst, dass dir irgendein nützlicher Idiot alle 10 Aufgaben löst.

Welche gemeinsame Eigenschaft von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten wurde euch im Unterricht vermittelt?

Kleiner Tipp: Du darfst in deinen Hefter schauen.

Was findest du dort zum Thema?

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Ist ja nicht so das diese Aufgaben Hausaufgaben sind. Wie bereits erwähnt befinde ich mich in Quarantäne und weiß daher nicht wie dieses Thema funktioniert.Ich bekam lediglich die Aufgaben zur Übung für die Klausur ohne jedoch das Thema erklärt zu bekommen. Natürlich habe ich mir das Thema bereits angeschaut blicke trotzdem nicht durch. Du musst die Aufgabe ja nicht lösen,ich bitte schließlich auch nicht um komplette Lösungen sondern mir reicht auch Hilfe oder einfache Lösungsansätze.

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Zudem habe ich auch nur um die 2g) gebeten und nicht mehr. Das alle aufgeschrieben wurden hat wohl was mit der Seite zu tun.

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Zudem habe ich auch nur um die 2g) gebeten

Tut mit leid, das habe ich überlesen.

Wie bist du den alle anderen Teilaufgaben angegangen?

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Ich habe mir die Hilfestellung von einer anderen Antwort zu dieser Aufgabe angeguckt und anhand dieser die weiteren gelöst. Mir ist bewusst das man die funktionsgleichung ableiten und anschließend gleich null setzen muss jedoch bin ich ab teilaufgabe g nicht mehr weiter gekommen da mir hier nicht klar ist wie ich das gleich null setzte soll beziehungsweise auflösen soll (es gibt ja verschiedene Methoden um nullstellen erstmals rauszubekommen ). Daher meine Frage wie und was ich da anwenden muss.

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Was genau ist an Aufgabe g) anders, sodass du mit der Aufgabe nicht zurechtkommst.

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Mir ist bewusst das man die funktionsgleichung ableiten und anschließend gleich null setzen muss

Wunderbar!

Hilft es dir, wenn man in -x³+3x²=0 durch Ausklammern von x² auf

x²(-x+3)=0 kommt?

Für welche x wird das 0?

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Also ist x1=0 und x2 =3 wenn ich das richtig verstanden habe

Und diese Punkte dann anschließend in die Ursprungsfunktion einsetzen um hoch und Tiefpunkte zu bekommen oder?

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Also ist x1=0 und x2 =3 wenn ich das richtig verstanden habe

Bedenke das x = 0 eine doppelte Nullstelle und damit eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel ist. Das gibt also hier keinen Extrempunkt sondern einen Sattelpunkt.

~plot~ -0.25x^4+x^3-4;[[-8|8|-6|6]] ~plot~

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Wie kommt man denn auf den Sattelpunkt

Ich habe ja anscheinend etwas falsch gerechnet da ich keinen sattelpunkt bekommen habe

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Wie gesagt erkennt du einen Sattelpunkt bereits an einer geraden Vielfachheit einer Nullstelle der ersten Ableitung.

Ansonsten hast du zumindest die Nullstellen richtig berechnet.

Answer 1

Aloha :)

Von der gegebenen Funktion$$f(x)=-\frac14x^4+x^3-4$$benötigen wir die Ableitungen:$$f'(x)=-x^3+3x^2=-x^2(x-3)$$$$f''(x)=-3x^2+6x$$$$f'''(x)=-6x+6$$

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x_1=3\) und \(x_2=0\).

Wir prüfen, um welche Art Punkte es sich handelt, indem wir die Kandidaten solange in die folgenden Ableitungen einsetzen, bis wir bei der \(n\)-ten Ableitung erstmalig einen Wert \(\ne0\) erhalten. Ist \(n\) gerade, handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt, ist \(n\) ungerade, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Für \(x_1=3\) finden wir:$$f''(3)=-9<0\quad\implies\quad\text{Maximum}$$

Für \(x_2=0\) finden wir:$$f''(0)=0\quad;\quad f'''(0)=6$$Die kleinste Ableitung \(\ne0\) ist die dritte, also eine ungerade Ableitung. Daher liegt bei \(x_2=0\) ein Sattelpunkt vor.

Wir fassen zusammen und bestimmen noch die fehlenden \(y\)-Werte zu den Punkten:$$\text{Maximum}\left(3\bigg|\frac{11}{4}\right)\quad;\quad\text{Sattelpunkt}(0|-4)$$

~plot~ {3|11/4} ; {0|-4} ; -x^4/4+x^3-4 ; [[-1|5|-5|3]] ~plot~

Answer 2

Benutze https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion zur Hilfe und Selbstkontrolle

f(x) = x^2 - 6x + 11
f'(x) = 2x - 6 = 0 → x = 3

f(3) = 2 → Tiefpunkt bei (3 | 2)

Skizze:

~plot~ x^2-6x+11 ~plot~