Orthogonale Basis von ein Polynom bilden

Question

Text erkannt:

\( \left\langle a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}, b_{1}+b_{1} x+b_{2} x^{2}\right\rangle:=\sum \limits_{k=0}^{2} a_{k} b_{k}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}, \)
d.h. analog zum euklidischen Skalarprodukt des \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie ein Polynom \( p(x)=a+b x+c x^{2} \in \mathcal{P}_{2} \) so, dass
\( \left\{1-x+x^{2}, x+x^{2}, p(x)\right\} \)
eine orthogonale Basis von \( \mathcal{P}_{2} \) bilden.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht zurecht, wie ich da vorgehen soll :/

Habe an Gram-Schmidt-Verfahren gedacht aber da stehe ich auch am Schlauch

Answer 1

Mit \(p(x)=a+bx+cx^2\) gilt

1. \(p(x)\perp 1-x+x^2\Rightarrow 0=\langle 1-x+x^2,a+bx+cx^2\rangle=a-b+c\) und

2. \(p(x)\perp x+x^2\Rightarrow 0=\langle x+x^2,a+bx+cx^2\rangle =b+c\).

Hieraus folgt \((a,b,c)=(-2c,-c,c)=c(-2,-1,1)\), also

\(p(x)=c(-2-x+x^2)\), z.B. also \(p(x)=-2-x+x^2\).