Bestimmen Sie eine orthogonale Basis

Question

Text erkannt:

(i) Sei \( V \) der Vektorraum von stetigen Abbildungen \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) mit Skalarprodukt
$$ \langle f, g\rangle=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) d x $$
Bestimmen Sie eine orthogonale Basis von \( W=\operatorname{span}\left(1, x, x^{2}, x^{3}\right) \subset V \). (Hinweis: Benutzen Sie das Gram-Schmidt-Verfahren.)
(ii) Seien \( W, V \) wie im Teil
(i). Sei \( U=\operatorname{span}(1, x) \subset W \). Bestimmen Sie \( U^{\perp} \subset W \).

Bin komplett auf dem Schlauch.

Comments

Diese und deine letzte Frage lassen darauf schließen, dass du nicht weißt, was Gram-Schmidt ist. Also zuerst

https://mathepedia.de/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren.html

durchlesen.

Die Anwendung ist einfach, es sind in dieser Aufgabe nur Integrale auszurechnen.

Answer 1

Ich halte mich mal mit den Bezeichnungen an

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthogonalisierungsverfahrens

Dann wäre bei dir also w1=1    w2=x w3=x^2  w4=x^3

Und der erste Schritt ist ja einfach v1=w1 .

Dann v2 = w2 - <v1,w2>/<v1,v1> · v1    und jetzt die Skalarprodukte ausrechnen

$$<v1,w2>=\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x dx =\int \limits_{-1}^{1} x dx=[0,5x^2]_{-1}^1=0$$

weil es 0 ist, brauchst du <v1,v1> gar nicht mehr und hast sofort v2=w2=x

Dann geht es weiter v3= w3 - <v1,w3>/<v1,v1> · v1  - <v2,w3>/<v2,v2> · v2    #

und jetzt wieder die Skalarprodukte ausrechnen

$$<v1,w3>=\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x^2 dx =\int \limits_{-1}^{1} x^2 dx=[\frac{1}{3}x^3]_{-1}^1=\frac{2}{3}$$

und entsprechend <v1,v1>=2  und <v2,w3>=0 also wird aus #

v3 = w3 - (1/3 ) v1   - 0 v^2  =  x^2 - (1/3)

und in der Art auch v4 ausrechnen.