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(i) Sei V V der Vektorraum von stetigen Abbildungen f : [1,1]R f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} mit Skalarprodukt
f,g=11f(x)g(x)dx \langle f, g\rangle=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) d x
Bestimmen Sie eine orthogonale Basis von W=span(1,x,x2,x3)V W=\operatorname{span}\left(1, x, x^{2}, x^{3}\right) \subset V . (Hinweis: Benutzen Sie das Gram-Schmidt-Verfahren.)
(ii) Seien W,V W, V wie im Teil
(i). Sei U=span(1,x)W U=\operatorname{span}(1, x) \subset W . Bestimmen Sie UW U^{\perp} \subset W .

Bin komplett auf dem Schlauch.

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Diese und deine letzte Frage lassen darauf schließen, dass du nicht weißt, was Gram-Schmidt ist. Also zuerst

https://mathepedia.de/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren…

durchlesen.

Die Anwendung ist einfach, es sind in dieser Aufgabe nur Integrale auszurechnen.

1 Antwort

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Ich halte mich mal mit den Bezeichnungen an

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsv…

Dann wäre bei dir also w1=1    w2=x w3=x2  w4=x3

Und der erste Schritt ist ja einfach v1=w1 .

Dann v2 = w2 - <v1,w2>/<v1,v1> · v1    und jetzt die Skalarprodukte ausrechnen

<v1,w2>=111xdx=11xdx=[0,5x2]11=0<v1,w2>=\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x dx =\int \limits_{-1}^{1} x dx=[0,5x^2]_{-1}^1=0

weil es 0 ist, brauchst du <v1,v1> gar nicht mehr und hast sofort v2=w2=x

Dann geht es weiter v3= w3 - <v1,w3>/<v1,v1> · v1  - <v2,w3>/<v2,v2> · v2    #

und jetzt wieder die Skalarprodukte ausrechnen

<v1,w3>=111x2dx=11x2dx=[13x3]11=23<v1,w3>=\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x^2 dx =\int \limits_{-1}^{1} x^2 dx=[\frac{1}{3}x^3]_{-1}^1=\frac{2}{3}

und entsprechend <v1,v1>=2  und <v2,w3>=0 also wird aus #

v3 = w3 - (1/3 ) v1   - 0 v2  =  x2 - (1/3)

und in der Art auch v4 ausrechnen.

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