Ich halte mich mal mit den Bezeichnungen an
https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthogonalisierungsverfahrens
Dann wäre bei dir also w1=1 w2=x w3=x^2 w4=x^3
Und der erste Schritt ist ja einfach v1=w1 .
Dann v2 = w2 - <v1,w2>/<v1,v1> · v1 und jetzt die Skalarprodukte ausrechnen
$$<v1,w2>=\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x dx =\int \limits_{-1}^{1} x dx=[0,5x^2]_{-1}^1=0$$
weil es 0 ist, brauchst du <v1,v1> gar nicht mehr und hast sofort v2=w2=x
Dann geht es weiter v3= w3 - <v1,w3>/<v1,v1> · v1 - <v2,w3>/<v2,v2> · v2 #
und jetzt wieder die Skalarprodukte ausrechnen
$$<v1,w3>=\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x^2 dx =\int \limits_{-1}^{1} x^2 dx=[\frac{1}{3}x^3]_{-1}^1=\frac{2}{3}$$
und entsprechend <v1,v1>=2 und <v2,w3>=0 also wird aus #
v3 = w3 - (1/3 ) v1 - 0 v^2 = x^2 - (1/3)
und in der Art auch v4 ausrechnen.