Monotonie der Folgen zeigen

Question

Text erkannt:

\( a_{n}=\frac{5 n-3}{3 n+2} \)

Aufgabe:

Answer 1

Aloha :)

$$a_{n+1}-a_n=\frac{5(n+1)-3}{3(n+1)+2}-\frac{5n-3}{3n+2}=\frac{5n+2}{3n+5}-\frac{5n-3}{3n+2}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(5n+2)(3n+2)-(5n-3)(3n+5)}{(3n+5)(3n+2)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(15n^2+6n+10n+4)-(15n^2-9n+25n-15)}{(3n+5)(3n+2)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(16n+4)-(16n-15)}{(3n+5)(3n+2)}=\frac{19}{(3n+5)(3n+2)}>0$$

Es ist also \(a_{n+1}>a_n\) und die Folge daher streng monoton wachsend.

Answer 2

Es ist \(a_n\) genau dann streng monoton wachsend, wenn \(3/5\cdot a_n\)

streng monoton wächst.

Man bekommt

\(3/5\cdot a_n=\frac{15n-9}{15n+10}=\frac{15n+10-19}{15n+10}=1-\frac{19}{15n+10}\).

Da \(\frac{19}{15n+10}\) offenbar streng monoton fällt, wächst \(1-\frac{19}{15n+10}\)

streng monoton.

Comments

Streng monoton wachsend oder fallend in diesem Beispiel?

Bei meiner Rechnung ist es streng monoton wachsend

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Bei wachsendem n wird immer weniger abgezogen, d.h. Folge wächst,
wie ich es geschrieben habe.