Begründen Sie, weshalb es nur für positive Werte von a Extremalpunkte gibt.

Question

Guten Tag, ich bräuchte hilfe bei diesen Augaben

8. Gegeben ist die Kurvenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+\mathrm{a} \mathrm{e}^{-\mathrm{x}}, \mathrm{a} \neq 0 \).
a) Untersuchen Sie die Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) auf Extrema und Wendepunkte. Begründen Sie, weshalb es nur für positive Werte von a Extremalpunkte gibt.
b) Welche Scharkurve \( f_{a} \) besitzt ein auf der \( x \)-Achse liegendes Extremum und welche Scharkurve hat ihr Extremum auf der y-Achse?
c) Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden g. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?
d) Skizzieren Sie die Graphen der Scharkurven \( \mathrm{f}_{1}, \mathrm{f}_{0,5} \) und \( \mathrm{f}_{-1} \) für \( -2 \leq \mathrm{x} \leq 3 \).
e) Welche Ursprungsgerade \( \mathrm{h}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\mathrm{mx} \) berührt den Graphen von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) ?
Berechnen Sie die Berührstelle sowie die Geradengleichung von \( \mathrm{h}_{\mathrm{a}} \).

Comments

Wo genau liegt das Problem, bei der Bildung der Ableitungen?

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Das Problem liegt eigentlich bei allen aufgaben, habe absolut keine ahnung und brauche dringend hilfe

Answer 1

Wo liegen genau die Probleme?

a)

f(x) = a·e^(-x) + x

f'(x) = 1 - a·e^(-x) = 0 --> x = LN(a) → Hier kann es nur für positive a eine Lösung geben.
f(LN(a)) = LN(a) + 1 → TP(LN(a) | LN(a) + 1)

f''(x) = a·e^(-x) = 0 → Keine Lösung

Answer 2

Hallo,

dann fange ich mit Aufgabe a) an.

Zur Berechnung der Extremstellen setzt du die 1. Ableitung = 0 und löst nach x auf.

Mit Hilfe der 2. Ableitung bestimmst du, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Ist f''(x) < 0, handelt es sich um einen Hochpunkt, ist f''(x) > 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt, ist f''(x) = 0, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

\(f(x)=x+ae^{-x}\\ f'(x)=1-ae^{-x}\\ f''(x)=ae^{-x}\\ f'''(x)=-ae^{-x}\)

Zur Berechnung der Wendestellen setzt du die 2. Ableitung = 0 und löst nach x auf. Dann prüfe, ob f'''(x) an dieser Stelle ungleich 0 ist.

Um die y-Koordinaten von Punkten zu bestimmen, setzt du die x-Werte in f(x) ein.

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia