Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden g. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x) = x+ a×e^-x, a≠0.

a) Untersuchen Sie fa auf Extrema und Wendepunkte. Begründen Sie, weshalb es nur für positive Werte Extremalpunkte gibt.

b) Welche Scharkurve fa besitzt ein auf der x-Achse liegendes Extremum und welche Scharkurve hat ihr Extremum auf der y-Achse?

c) Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden g. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

d) Skizzieren Sie die Graphen der Scharkurven f₁, fo,5 und f_1.

e) Welche Ursprungsgerade ha (x) = mx berührt den Graphen von fa? Berechnen Sie die Berührstelle sowie die Geradengleichung von ha.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösungen für a und b, aber c kriege ich nicht hin. Kann mir jemanden bitte helfen?

Es gibt ein Tiefpunkt (In(a) / In(a)+1)

Comments

https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/kurvendiskussion/extrema_und_wendepunkte

Answer 1

c) Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden g. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

f '(x)=1-\( \frac{a}{e^x} \)

0=1-\( \frac{a}{e^x} \) also a=e^x.

Dies in f(x) eingesetzt ergibt g(x)=x+1.