Wie überprüfe ich ob das ein Untervektorraum ist?

Question

Aufgabe:

Überprüfe, ob U₂ = { (x,y) ∈ ℝ² | x + y = 2 } ein Untervektorraum ist

Problem/Ansatz:

Wollte die Kriterien für Untervektorräume anwenden, aber bin überfordert, da = 2 rauskommen soll. Wie überprüfe ich das ganze?

Vielen Dank für die Hilfe im voraus♥

Answer 1

Prüfe einfach nach ob die Lösungsmenge von x+y =2 die Kritrien erfüllt.

Also z. B. 2 und 2 oder -4 + 6 usw.

Answer 2

Schreib doch zunächst mal 3 bis 5 Vektoren auf, die zu U2 gehören.

Danach schreibst du dann mal die Kriterien auf, die ein Untervektorraum erfüllen muss.

Und dann entscheide begründet ob U2 ein Untervektorraum ist.

Comments

Reicht es also als Beweis, einfach ein paar Beispiele zu machen und bei denen die Kriterien zu überprüfen? Oder was muss man dann noch machen.

Vielen Dank für die schnelle Antwort♥

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Es würde ein Gegenbeispiel um zu zeigen das U2 kein Untervektorraum ist.

Leider langt es nicht 1000 Beispiele zu finden um zu zeigen das U2 ein Untervektorraum ist. Dann müsstest du das allgemein zeigen.

Aber hier sollte es dir in der Tat sehr einfach fallen zu zeigen das U2 kein Untervektorraum ist.

Answer 3

Aloha :)

Eine Teilmenge \(U\subseteq V\) eines \(K-\)Vektorraums \(V\) ist ein Untervektorraum, wenn gilt:$$(1)\quad U\ne\emptyset\quad\text{(\(U\) ist nicht leer.)}$$$$(2)\quad \vec u,\vec w\in U\implies \vec u+\vec v\in U\quad\text{(Abgeschlossen bzgl. Addition.)}$$$$(3)\quad\alpha\in K, \vec v\in U\implies \alpha\cdot \vec v\in U\quad\text{(Abgeschlossen bzgl. Skalarmultiplikation)}$$

Aus Begingung \((1)\) folgt, dass es ein \(\vec v\in U\) gibt.

Aus Bedingung \((3)\) folgt dann, dass \(0\cdot\vec v=\vec 0\in U\) ist.

Das bedeutet, dass jeder Untervektorraum \(U\) den Nullvektor enthalten muss.

Für die Menge \(U_2=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x+y=2\}\) gilt jedoch:$$\vec 0=\binom{0}{0}\notin U_2\quad\text{, denn: }0+0=0\ne2$$Also ist \(U_2\) kein Untervektorraum.

Answer 4

Hallo, U2 wäre ein Untervektorraum, wenn...

1. Der Nullvektor drin wäre, was aber hier nicht der Fall wäre, denn wenn du den Nullvektor in die Gleichung einsetzt, dann gilt:

(0,0) -> 0+0=0 ungleich 2, heißt der Nullvektor ist nicht in U2 drin.

2. Die Summe von zwei beliebigen Vektoren aus U2 auch enthalten wäre. Tut es auch nicht, denn (2,0) und (0,2) sind z.B. drin , aber die Summe (2,2) ist nicht drin, weil da würde dann 4 und nicht 2 rauskommen.

und 3. ein beliebig vielfacher (aus einem beliebigen Körper K) Vektor von U2 auch drin wäre. Ist jedoch auch nicht der Fall, denn sei 2 ein reelles Skalar und (2,0) ein Vektor von U2, jedoch ist 2*(2,0)=(4,0) nicht in U2 enthalten.

Du siehst, keines der Axiome/Regeln werden bei U2 erfüllt, folglich ist U2 auch kein Untervektorraum. Aber um zu zeigen, dass er keiner ist, musst du nur ein Gegenbeispiel bei einem Axiom durchführen.