Funktionen mit 2 Veränderlichen

Question

Aufgabe:

f: ℝ² -------> ℝ² (x,y) → (x+2y, 2x-y)

Hallo liebe Leute,

komme bei obiger Aufgabe ins Stocken. Gesucht ist das Bild des Definitionsbereichs und das Urbild von (0).

Problem/Ansatz:

Weiss noch nicht genau wie man mit Funktionen mit 2 Veränderlichen umgeht.

Also der X-Wert ist x+2y , was für mich wie ein Vektor aussieht........ Y-Wert ist x-2y.....

Bin mir da echt total unsicher und halte lieber die Klappe. Hoffe auf eure Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildungsvorschrift lautet:$$\binom{x}{y}\mapsto\binom{x+2y}{2x-y}=x\binom{1}{2}+y\binom{2}{-1}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & -1\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\binom{x}{y}$$

Die Determinante der Abbildungsmatrix \(A\) ist \((-5)\), also ungleich Null. Daher ist das Bild der \(\mathbb R^2\) und das Urbild des Nullvektors ist der Nullvektor.

Comments

Ist f(x,y) hier der Z-wert?

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Du kannst dir die Funktion \(f(x;y)\) wie ein Gebirge vorstellen. Vom Satelliten aus gesehen hast du den Punkt \((x|y)\) und der Funktionswert an diesem Punkt kann als Höhe \(h=f(x;y)\) angesehen werden. Zum Plotten in ein 3-dimensionales Koordinatensystem kannst du daher \(z=f(x;y)\) wählen.

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Verstanden. Also ist das Urbild (0) immer der Nullvektor?

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Jede lineare Abbildung bildet die Null auf die Null ab.