Monotonie von Teilfolgen bestimmen?

Question

Aufgabe:

Hallo ich muss von den folgenden (Teil)folgen die Monotonie bestimmen, und scheiter daran total. Hab etliche Videos angschaut doch ich versteh es einfach nivht.

Die Teilfolgen:

Text erkannt:

\( (-1) \cdot \frac{4 k^{2}+2 k}{8 k^{3}+1} \)
\( \frac{2 k-1}{4 k^{2}-6 k+3} \)

Ich würde mich über eine ausführliche Lösung mit Erklärung freuen, danke:)

Answer 1

Das sind doch irgendwie 2 Folgen.

Ich nehme mal die zweite .

Wenn du da Monotonie prüfen (beweisen) willst , dann bilde die

Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder

\( a_k = \frac{2 k-1}{4 k^{2}-6 k+3} \) und \( a_{k+1} = \frac{2 k+1}{4 k^{2}+2 k+1} \)

Das gibt \( a_k - a_{k+1} = \frac{8k^2-4}{(4 k^{2}+2 k+1)\cdot(4 k^{2}-6 k+3)} \)

Das ist für natürliche Zahlen k≥1 offenbar immer positiv.

Also ist jedes Folgenglied immer größer als sein Nachfolger,

also die Folge streng monoton fallend.

Bei der ersten kannst du ja diese Methode auch mal versuchen.

Allerdings besser erst mal mit 2k+1 kürzen, dann ist der Term nur noch

\((-1) \cdot \frac{2 k}{4k^{2}-2k+1} \)

Comments

Hey danke dir für die ausführliche Antwort. Bei monotonwachsend gilt ja an+1-an>0 müsste dann bei monoton fallend nicht an an+1-an<0 gelten?

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Ich hatte aber \( a_k - a_{k+1} \) berechnet. Und

\( a_k - a_{k+1}  \gt 0 <=>    a_k \gt a_{k+1}    \) 

Der Nachfolger ist kleiner als der Vorgänger, also fallend.

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Danke dir, wie würde das bei monoton wachsend aussehen?

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\(a_k - a_{k+1}  \lt 0 <=>    a_k \lt a_{k+1}    \)

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Top hab es verstanden und gelöst vielen dank