Bestimmen Sie die ganzen Zahlen a und b mi a= inf ( M ) und b= max ( M ).

Question

Aufgabe

Bitte hilfe, ich komme damit nicht  weiter

Es sei

M = x ∈ ℝ /  x =  (  ( 2.n + 20 )² - 4.n² )  /  n  mit positiven natürlichen Zahlen n

Bestimmen Sie die ganzen Zahlen a und b mi a= inf ( M ) und b= max ( M ).

Comments

Erstmal binomische Formel anwenden, dann sollte sich etwas wegkürzen und dann kannst du dir ja mal überlegen, was passiert wenn n immer größer wird oder 1 ist...

Answer 1

Aloha :)

$$x=\frac{(2n+20)^2-4n^2}{n}=\frac{(4n^2+80n+400)-4n^2}{n}=\frac{80n+400}{n}=80+\frac{400}{n}$$

Da \(n\in\mathbb N\) gilt, ist der minimal mögliche Wert \(n=1\). Das führt auf das Maximum:$$b=80+\frac{400}{1}=480$$Für \(n\to\infty\) wird der Bruch \(\frac{400}{n}\) immer kleiner und konvergiert schließlich gegen \(0\). Der Wert \(0\) selbst wird aber nie erreicht. Das gesuchte Infimum ist daher:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}\left(80+\frac{400}{n}\right)=80$$