Maximum von Parabelgleichung bestimmen

Question

Aufgabe:

Maximum von Parabel f(x,y) = (2-x)*(2-y) finden.

auf dem Intervall $$D=[0.2,1.8] \times[0.2,1.8]$$

Problem/Ansatz:

Soweit ich weiß haben Parabeln dieser Form ihr Extremum an der Stelle $$\left.\left(x_{0}+x_{1}\right) / 2\right)$$.

Doch was sind in diesem Fall, bei gegebenem Intervall, die Werte x0 und x1?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=x(2-x)y(2-y)=(x^2-2x)(y^2-2y)$$

Kandidaten für Extremwerte finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{(2x-2)(y^2-2y)}{(x^2-2x)(2y-2)}=\binom{2(x-1)y(y-2)}{2x(x-2)(y-1)}$$Wegen $0,2\le x\le1,8$ und $0,2\le y\le1,8$ liefert das nur einen Kandidaten:$\quad K(1|1)$

Diesen prüfen wir mit der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}2y(y-2) & 4(x-1)(y-1)\\4(x-1)(y-1) & 2(x-2)x\end{pmatrix}\implies H(1;1)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}$$Die Hesse-Matrix ist offensichtlich negativ definit, sodass bei $K(1|1)$ tatsächlich ein Maximum vorliegt:$$f_{\text{max}}=f(1|1)=1$$

Answer 2

(2 - x) wird maximal wenn x = 0.2 ist

(2 - y) wird maximal wenn y = 0.2 ist

Das Maximum ist dann (2 - 0.2)(2 - 0.2) = 3.24

Comments

Oh, ich habe ein x vor der Funktion vergessen.

Eigentlich sollte die Funktion also: $$x(2-x) y(2-y)$$ lauten.

Wie beziehe ich das x in meine Überlegungen dann mit ein?

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Wann wird x*(2 - x) maximal? Das wäre zwischen den Nullstellen bei 0 und 2 also bei x = 1

Demzufolge ist auch y = 1