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Aufgabe:

Maximum von Parabel f(x,y) = (2-x)*(2-y) finden.

auf dem Intervall D=[0.2,1.8]×[0.2,1.8] D=[0.2,1.8] \times[0.2,1.8]


Problem/Ansatz:

Soweit ich weiß haben Parabeln dieser Form ihr Extremum an der Stelle (x0+x1)/2) \left.\left(x_{0}+x_{1}\right) / 2\right) .

Doch was sind in diesem Fall, bei gegebenem Intervall, die Werte x0 und x1?


Vielen Dank im Voraus

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Aloha :)

f(x;y)=x(2x)y(2y)=(x22x)(y22y)f(x;y)=x(2-x)y(2-y)=(x^2-2x)(y^2-2y)

Kandidaten für Extremwerte finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:(00)=!gradf(x;y)=((2x2)(y22y)(x22x)(2y2))=(2(x1)y(y2)2x(x2)(y1))\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{(2x-2)(y^2-2y)}{(x^2-2x)(2y-2)}=\binom{2(x-1)y(y-2)}{2x(x-2)(y-1)}Wegen 0,2x1,80,2\le x\le1,8 und 0,2y1,80,2\le y\le1,8 liefert das nur einen Kandidaten:K(11)\quad K(1|1)

Diesen prüfen wir mit der Hesse-Matrix:H(x;y)=(2y(y2)4(x1)(y1)4(x1)(y1)2(x2)x)    H(1;1)=(2002)H(x;y)=\begin{pmatrix}2y(y-2) & 4(x-1)(y-1)\\4(x-1)(y-1) & 2(x-2)x\end{pmatrix}\implies H(1;1)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}Die Hesse-Matrix ist offensichtlich negativ definit, sodass bei K(11)K(1|1) tatsächlich ein Maximum vorliegt:fmax=f(11)=1f_{\text{max}}=f(1|1)=1

Avatar von 152 k 🚀
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(2 - x) wird maximal wenn x = 0.2 ist

(2 - y) wird maximal wenn y = 0.2 ist

Das Maximum ist dann (2 - 0.2)(2 - 0.2) = 3.24

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Oh, ich habe ein x vor der Funktion vergessen.

Eigentlich sollte die Funktion also: x(2x)y(2y) x(2-x) y(2-y) lauten.

Wie beziehe ich das x in meine Überlegungen dann mit ein?

Wann wird x*(2 - x) maximal? Das wäre zwischen den Nullstellen bei 0 und 2 also bei x = 1

Demzufolge ist auch y = 1

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