Aloha :)
$$f(x;y)=x(2-x)y(2-y)=(x^2-2x)(y^2-2y)$$
Kandidaten für Extremwerte finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{(2x-2)(y^2-2y)}{(x^2-2x)(2y-2)}=\binom{2(x-1)y(y-2)}{2x(x-2)(y-1)}$$Wegen \(0,2\le x\le1,8\) und \(0,2\le y\le1,8\) liefert das nur einen Kandidaten:\(\quad K(1|1)\)
Diesen prüfen wir mit der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}2y(y-2) & 4(x-1)(y-1)\\4(x-1)(y-1) & 2(x-2)x\end{pmatrix}\implies H(1;1)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}$$Die Hesse-Matrix ist offensichtlich negativ definit, sodass bei \(K(1|1)\) tatsächlich ein Maximum vorliegt:$$f_{\text{max}}=f(1|1)=1$$