Maximalen Weiterbereich und Definitionsbereich

Question

Text erkannt:

\( f \circ g \) und gof berechnen.
Maximalen Wefinitionsberech und Wertebereich Von \( f, g, f \circ g, g \circ f \) bestimmen.
\( f(x)=3+\sqrt{x}, \quad g(x)=(x-3)^{2} \)

Aufgabe:

Answer 1

f°g(x)=3+\( \sqrt{(x-3)^2} \).

g°f(x)=(3+\( \sqrt{x} \) - 3)².

Beides kann man vereinfachen.

Answer 2

Aloha :)

Wir ergänzen maximalen Definitions- und Wertemengen:$$f\colon\mathbb R^{\ge0}\to\mathbb R^{\ge3},\;x\mapsto3+\sqrt x$$$$g\colon\mathbb R\to\mathbb R^{\ge0},\;x\mapsto(x-3)^2$$

Die Hintereinanderausführung zuerst \(g\) und dann \(f\), geht problemlos:$$f\circ g\colon\mathbb R\stackrel{g}{\mapsto}\mathbb R^{\ge0}\stackrel{f}{\mapsto}\mathbb R^{\ge3}\quad\text{bzw.}\quad f\circ g\colon\mathbb R\to\mathbb R^{\ge3}$$

In die andere Richtung sieht es so aus:$$g\circ f\colon\mathbb R^{\ge0}\stackrel{f}{\mapsto}\mathbb R^{\ge3}\stackrel{g}{\mapsto}\mathbb R^{\ge0}\quad\text{bzw.}\quad g\circ f\colon\mathbb R^{\ge0}\to\mathbb R^{\ge0}$$