Beweis: Polynom hat höchstens n Nullstellen

Question

Hallo, ich brauche Hilfe bei einem Beweis!

Aufgabe: Sei p(t) ∈ K[t] mit deg p(t) = n ∈ ℕ. Man muss zeigen, dass p(t) höchstens n Nullstellen hat.

Problem/Ansatz: Ich komme hier gar nicht weiter. Zuerst habe ich mir gedacht, dass man das Polynom gleich 0 setzen könnte, das funktioniert aber (soviel ich weiß) nur bei Polynomen mit niedrigem Grad. Dann habe ich mir gedacht, dass man vielleicht die Nullstellen abspaltet, also dann der Grad des Restpolynoms um 1 verringert wird - eben so lange, bis der Grad 0 ist. Jedoch erscheinen mir beide Ansätze sinnlos.

Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

Hallo

angenommen es hat mehr als n Nullstellen x_i, dann  kann ich es schreiben als

a*\( \prod_{i=1}^{n+1}{(x-x_i)} \)

jetzt du.

lul

Comments

Hmm, wenn es mehr als n Nullstellen hat, dann ist der Grad ja auch größer n. Aber allein mit dieser Schreibweise komme ich auch nicht weiter.

Meinst du etwa, dass ich die ganze Sache vielleicht mit einer Induktion beweisen kann? Also dass ich dabei als Induktionsvoraussetzung deg p(t) = n ⇒ #(x_n)_n∈ℕ ≤ n nehme und beim Induktionsschritt dann eine Fallunterscheidung mache (Fall 1: Nullstellen existieren, Fall 2: Nullstellen existieren nicht - eigentlich trivial)

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Hallo

was leuchtet dir denn an dem Widerspruchsbeweis nicht ein?

lul

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Ich habe es jetzt doch verstanden, danke für die Hilfe!