Hallo,
ich habe Schwierigkeiten, die Lösung der folgenden Aufgabe nachzuvollziehen:
Es sei \( f: A \rightarrow B \) eine Abbildung. Zu \( f \) definieren wir die Abbildung \( f^{-1}: 2^{B} \rightarrow 2^{A}, M \mapsto\{a \in A \mid f(a) \in M\} \).
Für jedes \( M \subseteq B \) nennt man \( f^{-1}(M) \) das Urbild von \( M \) (unter \( f \) ).
Welche Bedingung muss \( f \) erfüllen, damit \( f^{-1} \) injektiv ist?
Lösung
\( f \) muss surjektiv sein.
Ich habe versucht, die Aufgabe auf folgende Art und Weise zu lösen:
Ich gehe von einer Menge A :={1,2} und einer Menge B:={1,4,18} aus. Ich definiere außerdem die Menge M :={1,4,18}. Die Abbildungsvorschrift \( f \) definiere ich zusätzlich als x → x2.
Daraus ergibt sich für mich Folgendes: \( f \) ist nicht surjektiv, da keine Zahl aus A auf die 18 abbildet. \( f^{-1} \) ist allerdings injektiv, da keine zwei verschiedene Elemente aus M auf das gleiche Element in 2A abbilden: (1,1), (4,2).
Dementsprechend komme ich nicht auf den gegebenen Lösungsvorschlag. Leider kann ich meinen Denkfehler nicht entdecken - kann mir jemand behilflich sein? Vielen Dank.
