[Urbild, Mengen] Welche Bedingung muss f erfüllen, damit f^{-1} injektiv ist?

Question

Hallo,
ich habe Schwierigkeiten, die Lösung der folgenden Aufgabe nachzuvollziehen:
Es sei \( f: A \rightarrow B \) eine Abbildung. Zu \( f \) definieren wir die Abbildung \( f^{-1}: 2^{B} \rightarrow 2^{A}, M \mapsto\{a \in A \mid f(a) \in M\} \).
Für jedes \( M \subseteq B \) nennt man \( f^{-1}(M) \) das Urbild von \( M \) (unter \( f \) ).
Welche Bedingung muss \( f \) erfüllen, damit \( f^{-1} \) injektiv ist?
Lösung
\( f \) muss surjektiv sein.

Ich habe versucht, die Aufgabe auf folgende Art und Weise zu lösen:

Ich gehe von einer Menge A :={1,2} und einer Menge B:={1,4,18} aus. Ich definiere außerdem die Menge M :={1,4,18}. Die Abbildungsvorschrift \( f \) definiere ich zusätzlich als x → x².

Daraus ergibt sich für mich Folgendes: \( f \) ist nicht surjektiv, da keine Zahl aus A auf die 18 abbildet. \( f^{-1} \) ist allerdings injektiv, da keine zwei verschiedene Elemente aus M auf das gleiche Element in 2^A abbilden: (1,1), (4,2).
Dementsprechend komme ich nicht auf den gegebenen Lösungsvorschlag. Leider kann ich meinen Denkfehler nicht entdecken - kann mir jemand behilflich sein? Vielen Dank.

Answer 1

\( f^{-1} \) ist allerdings injektiv, ...

Ist es nicht. Es ist

        \(f^{-1}(\{4\}) = \{2\}\)

und

\(f^{-1}(\{4, 18\}) = \{2\}\).

Somit ist \(f^{-1}\) nicht injektiv.

da keine zwei verschiedene Elemente aus M auf das gleiche Element in 2^A abbilden

Das ist nicht, wie Injektivität von \(f^{-1}\) definiert ist.

\(f^{-1}\) ist injektiv, wenn keine zwei Elemente von \(2^B\) auf das gleiche Element in \(2^A\) abgebildet werden.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Wieso gilt

\(f^{-1}(\{4, 18\}) = \{2\}\).

?

Ich dachte, man müsse für das Urbild von \(f\) die Operation "umdrehen". In diesem Fall würde das ja das Wurzel ziehen bedeuten - dementsprechend verstehe ich nicht, wieso der 18 auch die 2 zugeordnet werden kann.

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wieso der 18 auch die 2 zugeordnet werden kann.

Weder der 18, noch der 4 wird durch \(f^{-1}\) irgendetwas zugeordnet.

Stattdessen:

\( f^{-1}: 2^{B} \rightarrow 2^{A}, M \mapsto\{a \in A \mid f(a) \in M\} \)

Der Menge \(\{4,18\}\) wird die Menge \(\{a \in \{1,2\} \mid f(a) \in \{4,18\}\}\) zugeordnet.

Um \(\{a \in \{1,2\} \mid f(a) \in \{4,18\}\}\) zu bestimmen, prüft man jedes \(a\in \{1,2\}\):

• Es gilt \(f(1) = 1\notin \{4,18\}\) also ist \(1 \notin f^{-1}(\{4,18\})\)
  
• Es gilt \(f(2) = 4\in \{4,18\}\) also ist \(2 \in f^{-1}(\{4,18\})\)
  
• Weitere Elemente gibt es in \(\{1,2\}\) nicht.

Also ist \(f^{-1}(\{4, 18\}) = \{2\}\).

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Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden!