Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit Parameter: fk(x)=(1:9)x^4-x²-(k:9)x²+k

Question

Hallo :)

Komme in Mathe bei der Aufgabe nicht weiter:

fk(x)=(1:9)x^4 -x²-(k:9)x²+k   /  k>0

Anzahl, Lage, Vielfachheit der Nullstellen in Abhängigkeit von k ermitteln. Ich würde hier substituieren, x²=z Dann habe ich auf fk(x)=z²-9z-kz+9k, dann habe ich meinen b-wert ausgeklammert und komme dann auf fk(x)=z²+(-9-k)z+9k

Meine Koeffizienten sind dann: a=1, b=(-9-k), c=9k

Ich sag mal wie weit ich gekommen bin. Mein Wert in der Diskrimante ergibt D=k²+14k+81

Vor der Diskrimante habe ich 9+k +/- und dann eben die Diskrimante.

Frage. Ist das richtig, oder falsch? Wenn falsch bitte jeden Schritt erklären, wenn richtig wie mache ich dann weiter? Ich habe keine Ahnung wie ich hier die Nullstellen ermittele mit den ganzen k-werten. Zwar in Abhängigkeit von k aber trotzdem weis ich nicht mehr weiter.

Ich habe die Frage schonmal geschrieben [siehe Antwort von georgborn unten], aber da wurde es mir mit der p-q-formel erklärt, bitte mit der Mitternachtsformel.

LG

Simon

Answer 1

f(x) = 1/9·x^4 - x^2 - k/9·x^2 + k = 0 | *9

x^4 - 9·x^2 - k·x^2 + 9·k = 0

x^4 + (- 9 - k)·x^2 + 9·k = 0

z = x^2

z^2 + (- 9 - k)·z + 9·k = 0

z = (9 + k)/2 ± √(((9 + k)/2)^2 - 9·k)
z = (9 + k)/2 ± √(k^2/4 + 9·k/2 + 81/4 - 9·k)
z = (9 + k)/2 ± √(k^2/4 - 9·k/2 + 81/4)
z = (9 + k)/2 ± √((k - 9)^2/4)
z = (9 + k)/2 ± (k - 9)/2

z1 = k
z2 = 9

x1 = ± √k
x2 = ± 3

Comments

Danke Der Mathecoach aber ich kann deine Antwort nicht nachvollziehen, rechnerisch schon aber die Diskriminante berechne ich wie folgt: D=b²-4ac

Folgedessen weis ich nicht was du mit /2 immer rechnest. Durch 2 teile ich immer den gesamten zähler, könntest du mir das vll. noch mal in meiner variante vorrechnen?

Wäre sehr nett von dir!

LG

SImon

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z² + (- 9 - k)·z + 9·k = 0

z = (-b ± √(b^2 - 4·a·c))/(2·a)

z = (-(- 9 - k) ± √((- 9 - k)^2 - 4·1·(9·k)))/(2·1)

z = (k + 9 ± √((k^2 + 18·k + 81) - (36·k)))/2

z = (k + 9 ± √(k^2 - 18·k + 81))/2

z = (k + 9 ± √((k - 9)^2))/2

z = (k + 9 ± (k - 9))/2

z1 = k

z2 = 9

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Das ist die Antwort, die ich wollte!

Ich kenne nämlich keine p-q-formel, bzw. habe ich sie bis jetzt nie angewandt.

Danke dir vielmals! :)

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Ich wende die abc-Formel eigentlich auch lieber an. Nur die meisten Schüler verstehen die ja nicht :)

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Ich finde die abc-Formel viel praktischer, weil ich einen a-wert überhaupt haben darf. Bei der p-q muss ich ja dann erst nochmal dividieren, um überhaupt in die Formel gehen zu können. Naja war sie lieber will, bitte...

Answer 2

Ich rechne es dir mal insgesamt vor, versuche es bitte nachzuvollziehen:

$$\frac { 1 }{ 9 } { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }-\frac { k }{ 9 } { x }^{ 2 }+k=0$$$$\Leftrightarrow { x }^{ 4 }-{ 9x }^{ 2 }-k{ x }^{ 2 }+9k=0$$$$\Leftrightarrow { x }^{ 4 }-{ (9+k)x }^{ 2 }+9k=0$$Substitution:$$z=x²$$$$\Leftrightarrow { z }^{ 2 }-{ (9+k)z }+9k=0$$$$\Leftrightarrow { z }^{ 2 }-{ (9+k)z }=-9k$$Nun auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung addieren, dann rechte Seite ausmultiplizieren und zusammenfassen:$$\Leftrightarrow { z }^{ 2 }-{ (9+k)z }+{ \left( \frac { 9+k }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 9+k }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }-9k=\frac { 81+18k+{ k }^{ 2 } }{ 4 } -\frac { 36k }{ 4 } =\frac { 81-18k+{ k }^{ 2 } }{ 4 } ={ \left( \frac { 9-k }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { \left( z-\frac { 9+k }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 9-k }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow z-\frac { 9+k }{ 2 } =\pm \frac { 9-k }{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { z }_{ 1,2 }=\frac { 9+k }{ 2 } \pm \frac { 9-k }{ 2 }$$$${ z }_{ 1 }=9$$$${ z }_{ 2 }=k$$Rücksubstitution:$${ x }_{ 1,2 }=\pm \sqrt { { z }_{ 1 } } =\pm \sqrt { 9 }$$$${ x }_{ 3,4 }=\pm \sqrt { { z }_{ 2 } } =\pm \sqrt { k }$$Daraus ergeben sich die von k unabhängigen Wurzeln:$${ x }_{ 1 }=3$$$${ x }_{ 2 }=-3$$sowie folgende Fallunterscheidungen für k:$$k<0:$$keine weiteren reellen Nullstellen$$k=0:{ x }_{ 3 }{ =x }_{ 4 }=0$$(Doppelte Nullstelle)$$k>0:$$$${ x }_{ 3 }{ =-\sqrt { k }  }$$$${ x }_{ 4 }{ =\sqrt { k }  }$$

Answer 3

Hallo Simon,

  wie heißt deine Funktion richtig ?

  fk(x)=(1:9)x²*²-x²-(k:9)x²+k

  f ( x ) = ( 1/9 ) * x^{2*2} - x^2 - ( k/9 ) * x^2 + k

  Substitution z = x^2

  f ( x ) = ( 1/9 ) * z^2 - z - ( k/9 ) * z + k

  f ( x ) = ( 1/9 ) * z^2 - z - ( k/9 ) * z + k = 0  l * 9

  z^2 - 9 * z - k * z + 9*k = 0  l Nullstelle
  z^2 - ( 9 + k ) * z = - 9 * k  l pq-Formel kann ich nicht, daher quadratische Ergänzung
  z^2 - ( 9 + k ) * z + [ ( 9 + k ) /2 ]^2 = -9*k + [ ( 9 + k ) /2 ]^2
  [ z - ( 9 + k ) /2  ]^2 = -9*k + ( 81 + 18*k + k^2) / 4
  [ z - ( 9 + k ) /2  ]^2 = -36*k /4 + ( 81 + 18*k + k^2) / 4
  [ z - ( 9 + k ) /2  ]^2 =  ( 81 - 18*k + k^2) / 4
  [ z - ( 9 + k ) /2  ]^2 =  [ ( 9 - k ) / 2 ]^2  l Wurzelziehen
  z - ( 9 + k ) /2  =  ± ( 9 - k ) / 2
  z =  ±  ( 9 - k ) / 2  + ( 9 + k ) /2
  z (1) =  ( 9 - k ) / 2  + ( 9 + k ) /2
  z (1) = 18 / 2 = 9
  z (2) =  - ( 9 - k ) / 2  + ( 9 + k ) /2
  z (2) = 2*k /2 = k

  Jetzt noch rücksubstituieren
  x^2 = 9
  x = 3
  x = -3
  x^2 = k
  x = √ k
  x = - √ k
Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Comments

Danke, ich habe einfach den Fehler gemacht mit Brüchen weiterzurechnen^^. Weis nicht wieso ich da nicht selber drauf gekommen bin, mache ich eigentlich immer so, aber naja. In der Schulaufgabe habe ich es gottseidank besser gemacht und bin dementsprechend belohnt werden mit einer guten Note ;)

Also Danke auf jeden Fall!