Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für die Konvergenz von Folgen das lim... gilt

Question 1

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für die Konvergenz von Folgen (d.h. für beliebiges
ε > 0 geben Sie n_εan, sodass |a_n − a| < ε für alle n > n_ε gilt), dass

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+3)-4}{n^2-1}=1$$

Problem/Ansatz:
Vielleicht kann mir dieses Beispiel jemand Step by Step erklären. Danke falls sich jemand die Mühe macht!

Question 2

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+3)-4}{n^2-1}=1$

|a_n − a| < ε bedeutet hier dann

$ \frac{n(n+3)-4}{n^2-1}-1 < ε $

$ \frac{n^2+3n-4}{n^2-1}-\frac{n^2-1}{n^2-1} < ε $

$ \frac{3n-3}{n^2-1}< ε $

$ \frac{3(n-1)}{(n-1)(n+1)}< ε $ Kürzen gibt

$ \frac{3}{n+1}< ε $

3 < ε(n+1)

$ \frac{3}{ε}< n+1 $

$ \frac{3}{ε} - 1 < n $

Wähle also $ n_ε > \frac{3}{ε} - 1 $, Das gibt es nach dem Axiom des Archimedes.

Dann gilt für alle n > n_ε die Ungleichung |a_n − a| < ε .

mathef · Answer 1 · 2022-03-25T15:39:10+0000