ganzrationale Funktion 3. Grades.

Question

Aufgabe:  Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph den Hochpunkt (1|5) und den Wendepunkt (2|3) besitzt.

…

Problem/Ansatz:

… kann einer mir sagen wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Answer 1

Ja.

Wähle den Ansatz y=ax^3+bx^2+cx+d und stelle damit die 4 Gleichungen

f(1)=5

f'(1)=0

f(2)=3

und f''(2)=0

konkret auf. Löse dann das erhaltene Gleichungssystem.

Comments

Danke Ich versuche es mal

Answer 2

Hochpunkt \( H(1 \mid 5) \rightarrow \rightarrow H^{\prime}(1 \mid 0) \) und Wendepunkt \( W(2 \mid 3) \rightarrow \rightarrow W^{\prime}(2 \mid-2) \)
\( f(x)=a \cdot\left[(x-1)^{2} \cdot(x-N)\right] \)
\( W \cdot(2 \mid-2) \)
\( f(x)=a \cdot\left[(2-1)^{2} \cdot(2-N)\right]=a \cdot[2-N] \)
\( a \cdot[2-N]=-2 \rightarrow \rightarrow a=\frac{2}{N-2} \)
\( f(x)=\frac{2}{N-2} \cdot\left[(x-1)^{2} \cdot(x-N)\right] \)
\( f^{\cdot} \cdot(x)=\frac{2}{N-2} \cdot\left[2 \cdot(x-1) \cdot(x-N)+(x-1)^{2}\right] \)
\( f^{\prime} \cdot(x)=\frac{2}{N-2} \cdot\left[(2 x-2) \cdot(x-N)+(x-1)^{2}\right] \)
\( f^{\prime} \cdot(x)=\frac{2}{N-2} \cdot[(2 \cdot(x-N)+(2 x-2)+2 \cdot(x-1)] \)
\( f^{\prime} \cdot(2)=\frac{2}{N-2} \cdot[(2 \cdot(2-N)+(2 \cdot 2-2)+2 \cdot(2-1)] \)
\( f^{\cdots} \cdot(2)=\frac{2}{N-2} \cdot[8-2 N] \)
\( \frac{2}{N-2} \cdot[8-2 N]=0 \)
\( N=4 \)
\( a=\frac{2}{4-2}=1 \)
\( f(x)=(x-1)^{2} \cdot(x-4) \)
Nun wieder 5 Einheiten nach oben:
\( p(x)=(x-1)^{2} \cdot(x-4)+5 \)

Answer 3

Vom Duplikat:

Titel: Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Gleichungssystem aufstellen.

Stichworte: steckbriefaufgabe

Aufgabe:

Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph den Hochpunkt (1|5) und den Wendepunkt (2|3) besitzt.

Problem/Ansatz:

Die 4 Gleichungen: f(1)=5
f'(1)=0
f (2)=3
und f"(3)=0

Kann mir jemand bitte bei Gleichungssystem weiterhelfen?

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f(1)=5
f'(1)=0
f (2)=3
f"(2)=0

f ( x ) = a *x^3 + b * x^2 + c*x + d
f ´( x ) = 3 * a *x^2 + 2 * b * x + c
f ´´( x ) = 6 * a *x + 2 * b
-------------------------------------------

f ( 1 ) = a * 1 + b * 1 + c * 1 + d = 5
f ´( 1 ) = 3 * a * 1 + 2 * b * 1 + c = 0
f ( 2 ) = a *8 + b * 4 + c*2 + d = 3
f ´´( 2 ) = 6 * a * 2 + 2 * b = 0

-------------------------------------------

a + b + c + d = 5
3 * a + 2 * b + c = 0
8 * a + b * 4 + c*2 + d = 3
6 * a * 2 + 2 * b = 0

-------------------------------------------

Gibt es irgenwo schon ein Duplikat
der Aufgabe ?

Ansonsten frag weiter nach.

---

Frage wurde hierhin umgeleitet. Alles klar inzwischen?

Answer 4

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Hochpunkt H(1|5):

f(1)=5=a+b+c+d    (I)

f'(1)=0=3a+2b+c    (II)

Wendepunkt W(2|3):

f(2)=3=8a+4b+2c+d    (III)

f''(2)=0=12a+2b → b=-6a   (*)

(*) in (II)

0=3a-12a+c → c=9a   (**)

(III)-(I)

-2=7a+3b+c → -2=7a-18a+9a → a=1

b=-6; c=9

(I) → 5=1-6+9+d → d=1

f(x)=x³-6x²+9x+1