Es geht um den Spann der Vereinigung zweier Unterräume

Question

Aufgabe:

Hallöchen,                       U1 und U2 sind Unterräume von V

kann mir jemand sagen, warum folgendes gilt:

U1 + U2 = ( u1 + u2 Ι u1 ∈ U1 ; u2 ∈ U2)

U1 + U2 = span ( U1 ∪ U2 )

Die Menge aller Linearkombinationen aus U1 ∪ U2 scheint mir von der Vorstellung größer...

Habe auch ne Nacht drüber geschlafen, kann mir den Raum aber einfach nicht vorstellen.
Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo

zur Vorstellung erstmal im R^2

U1=span(1,0), U2=span(0,1)  d.h, u1∈U1 heisst u1=r*(1,0) r ∈R entsprechend u2∈U2

U1+U2=r(1,0)+s(0,1) also Span{U1∪U2}  jetzt muss du erklärt, warum du findest, dass der Span größer ist, (vielleicht weil du nich an ein beliebiges u1 denkst sondern an ein einzelnes?)

Gruß lul

Comments

ja es lag glaube ich echt daran dass ich an ein einzelnes u1 dachte! Also geht es um ein beliebieges...Danke für den Tipp,

Answer 2

\(U_1+U_2\) ist ein Unterraum von \(V\).

Allgemein ist für eine Teilmenge \(M\subseteq V\)

\(span(M)\) der bzgl. "\(\subseteq\)" kleinste Unterraum von \(V\),

der \(M\) enthält. Daher ist \(span(U_1\cup U_2)\) der kleinste

Unterraum von \(V\), der \(U_1\) und \(U_2\) enthält.

Da auch \(U_1+U_2\) sowohl \(U_1\) als auch \(U_2\)

enthält, folgt somit \(span(U_1\cup U_2)\subseteq U_1+U_2\).