Wie kann man die Funktionsgleichung mit Ableitung und Stammfunktion herausfinden, wenn nur der Graph vorhanden ist?

Question

Aufgabe:

Wie kann man die Funktionsgleichung mit Ableitung und Stammfunktion herausfinden, wenn nur der Graph vorhanden ist ?

Answer 1

Man macht vermutlich erstmal einen geeigneten Funktionsansatz: Polynomfunktion, e-Funktion, Wurzelfunktion, Gebrochen Rationale Funktion etc.

Dann notiert man sich wichtige Merkmale die die Funktion erfüllen soll und bistimmt mit deren Hilfe die allgemeinen Parameter.

Etwas besser kann man eingehen, wenn du ein Bild der vorliegenden Funktion zur Verfügung stellst.

Comments

Es ist ein Polynomfunktion Minimumstelle ist (1/0) Maximumstelle ist (1/2).

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Für x = 1 sind 2 Funktionswerte angegeben.
Das ist leider schlecht.
Bitte korrigieren.

Ansonsten stell´ einmal ein Foto ein.

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(-1/0) Minimum (1/2) Maximum

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f ( -1 ) = 0
f ´ ( -1 ) = 0
f ( 1 ) = 2
f ´( 1 ) = 0

lineares Gleichungssystem lösen
f (x) = -0,5·x^3 + 1,5·x + 1

Es gibt auch noch andere Lösungs-
möglichkeiten

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wie kann man jetzt f(x)=-0,5x^3+1,5x+1 lösen

ich habe x herausgehoben aber kann die Gleichung nicht lösen

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Verwende http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(-1) = 0
f'(-1) = 0
f(1) = 2
f'(1) = 0

Gleichungssystem

-a + b - c + d = 0
3a - 2b + c = 0
a + b + c + d = 2
3a + 2b + c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -0,5·x^3 + 1,5·x + 1

Schaffst du aus den Eigenschaften das Gleichungssystem zu machen?
Schaffst du das Gleichungssystem zu lösen?

Erster Schritt zum Lösen des Gleichungssystems wäre III - I um auch dort das d wegzubekommen. Dann hat man nur noch 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das kann dann bereits der TR lösen.

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İch habe nicht so ganz verstanden woher kommen die 4 Gleichungen ? Und wenn ich die Gleichung subtrahiere bekomme ich -c. İch kann damit nichts anfangen.

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İch habe nicht so ganz verstanden woher kommen die 4 Gleichungen

Die 4 Gleichungen resultieren aus den 4 Bedingungen für den Ansatz einer kubischen Funktion.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(-1) = 0
f'(-1) = 0
f(1) = 2
f'(1) = 0

Nimmst du jetzt also die erste Bedingung

f(-1) = 0

dann folgt daraus

a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 0
- a + b - c + d = 0

So macht man das mit allen 4 Bedingungen und bekommt so die Gleichungen.

Und wenn ich die Gleichung subtrahiere bekomme ich -c. İch kann damit nichts anfangen.

Ich habe gesagt, du subtrahierst zuerst von der III. Gleichung die I. Gleichung.

(a + b + c + d) - (-a + b - c + d) = 2 - (0)
2·a + 2·c = 2 --> a + c = 1

Damit hättest du denn die 3 Gleichungen

3a - 2b + c = 0
a + c = 1
3a + 2b + c = 0

Jetzt könnte man leicht das b wegbekommen indem man zur III. Gleichung die I. Gleichung addiert.

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İch stelle noch eine Frage, woher kommt diese 3a-2b+c=0 ?

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İch stelle noch eine Frage, woher kommt diese 3a-2b+c=0 ?

Es muss 3a+2b+c=0 sein.

Es kommt von f'(1)=0.

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dann kommt 6a+2c=0 raus.

und wenn ich noch die letzten beiden Gleichungen addiere habe ich 7a+3c=1

was muss ich dann machen ?

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Ein System mit nur zwei Gleichungen und nur zwei Unbekannten (a und c) solltest du seit Klasse 8 lösen können.

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kommt 3/2 heraus, jetzt habe ich es kapiert :) Danke leute, vielen Dank:).

Answer 2

wie kann man jetzt f(x) = -0,5x^3 + 1,5x + 1 lösen
ich habe x herausgehoben aber kann die
Gleichung nicht lösen

Obiges ist keine Gleichung sondern eine
Funktion. Es gibt keine Lösung.

1Ableitung
f ´( x ) = -1.5 * x^2 + 1,5

Stammfunktion
S ( x ) = -0,5x^4 / 4 + 1,5*x^2 / 2 + x

Comments

Sicher gibt es eine Lösung!

Answer 3

\((-1|0) Minimum     und (1|2) Maximum\)

Nullstellenform der kubischen Parabel: Minimum bei (-1|0) bedeutet, dass dort eine doppelte Nullstelle ist.

\(f(x)=a*(x-(-1))^2*(x-N)=a*(x+1)^2*(x-N)\)

\((1|2) Maximum\):

\(f(1)=a*(1+1)^2*(1-N)=4a*(1-N)\)

\(4a*(1-N)=2→a=\frac{1}{2-2N}\)

\(f(x)=\frac{1}{2-2N}*[(x+1)^2*(x-N)]\)

In einem Maximum/Minimum haben wir eine waagerechte Tangente mit der Steigung \(m=0\)

\(f´(x)=\frac{1}{2-2N}*[2*(x+1)*(x-N)+(x+1)^2*1]\)

\(f´(1)=\frac{1}{2-2N}*[2*(1+1)*(1-N)+(1+1)^2]\)

\(f´(1)=\frac{1}{2-2N}*[4*(1-N)+4]\)

\(\frac{1}{2-2N}*[4*(1-N)+4=0]\)

\(N=2\)   \(a=\frac{1}{2-2*2}=-\frac{1}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}\)*(x+1)^2*(x-2)\)