Aloha :)
Die beiden Gleichungssystem sind bis auf den Wert ganz rechts unten gleich. Wir lösen daher beide Gleichungssystem gemeinsam, schreiben aber zwei Ergebisspalten:
$$\begin{array}{rrr|r|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & =_A & =_B & \text{Operation}\\\hline1 & 1 & 2 & 12 & 12\\-1 & 1 & 0 & -8 & -8 &+\text{Zeile 1}\\0 & 1 & 1 & 2 & 4 &\\\hline1 & 1 & 2 & 12 & 12\\0 & 2 & 2 & 4 & 4 &:\,2\\0 & 1 & 1 & 2 & 4 &\\\hline1 & 1 & 2 & 12 & 12 & -\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & 2 & 2 &\\0 & 1 & 1 & 2 & 4 &-\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 1 & 10 & 10 & \\0 & 1 & 1 & 2 & 2 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 2 &\end{array}$$
Hier erkennen wir, dass das Gleichungssystem \(B\) nicht lösbar ist, weil die letzte Gleichung$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$$durch kein Tupel \((x_1,x_2,x_3)\) erfüllt werden kann.
Hingegen ist die letzte Gleichung für das Gleichungssystem \(A\) für alle \((x_1,x_2,x_3)\) erfüllt:$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=0\quad\checkmark$$
Wir brauchen also nur Gleichungssystem \(A\) weiter zu betrachten:$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & =_A & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & 1 & 10 &\Rightarrow x_1+x_3=10 \\0 & 1 & 1 & 2 & \Rightarrow x_2+x_3=2 \\0 & 0 & 0 & 0 & \end{array}$$Da die letzte Gleichung keinerlei Forderungen an eine der Varibalen \(x_1\), \(x_2\) oder \(x_3\) stellt, haben wir nur zwei Forderungen an drei Unbekannte. Wir stellen die beiden Forderungen etwas um:$$x_1=10-x_3\quad;\quad x_2=2-x_3$$und finden damit unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems \(A\):$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10-x_3\\2-x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\2\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$Die Lösungen liegen offensichtlich alle auf einer Geraden.
