Gebrochenrationale Funktion Nullstelle

Question

Aufgabe:

gebrochen rationale funktion

Problem/Ansatz:

Hallo

Warum ist bei den Graphen der Funktion eine doppelte Nullstelle bei 0. Die Funktion hat doch gar keine Nullstelle. Ich habe es in den Funktionsplotter eingegeben.

\(f(x)=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^{2}-4} \)

Und was genau ist die Wertemenge.

Vielen Dank schon mal :))

Answer 1

Die Funktion ist bei x=0 nicht definiert.

Für x≠0 ist es ja gleich -x^2 / ( 4x^2 -1 )

und das hat bei x=0 eine Nullstelle.

Deine Funktion hat bei x=0 eine Lücke und wäre durch f(0)=0

stetig ergänzbar an dieser Stelle.

Wertemenge: Alle reellen Zahlen außer [ -0,25 ; 0 ].

Comments

Danke, aber wie kommt man auf die x² im zähler ?

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Indem man den Gesamtbruch mit x^2 erweitert!

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Entschuldigung das ich sie nochmal frage. Stetig fortsetzbar bedeutet doch, wenn die Nullstelle und die Definitionslücke gleich sind. Hier gibt es aber doch keine Nullstelle und warum kann ich die funktion einfach mit x² erweitern.

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Stetig fortsetzbar bedeutet doch, wenn die Nullstelle und die Definitionslücke gleich sind.

Was hat stetige Fortsetzbarkeit mit Nullstelle zu tun?

und warum kann ich die funktion einfach mit x² erweitern.

Man kann JEDEN Bruch durch Multiplikation (von Zähler und Nenner) mit dem gleichen von 0 verschiedenen Wert erweitern!
Es gibt zwar die "Gefahrenstelle" x=0, wo man mit 0^2 erweitern würde, aber diese Gefahr löst sich in Luft auf, weil die Funktion an der Stelle 0 sowieso nicht definiert ist.

An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist x von 0 verschieden, somit darf man mit x^2 erweitern.