Einheitsvektoren bezüglich der Basis angeben

Question

Es ist eine Basis B = ( \( \begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \) ) gegeben.
Nun lautet die Aufgabe: Gebe die Einheitsvektoren e₁, e₂, e₃ ∈ℝ³ bezüglich der Basis B an.

Mir ist nicht ganz klar wie die Aufgabe zu lösen ist. Ich verstehe es so, dass ich jeden Einheitsvektor mit der Basis B bilden soll, also z.B. e₁ = λ₁ * b₁ + λ₂ * b₂ + λ₃ * b₃ und dies dann mit dem Gausalgorithmus lösen

Verstehe ich die Aufgabe so richtig? Habe leider keine Lösung dazu.

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)
Du musst dir überlegen, welche Linearkombinationen der Vektoren \(\vec b_i\) die Einheitsvektoren \(\vec e_i\) ergeben. Dazu reicht es aus, die Matrix aus den Basisvektoren zu invertieren:$$M_B=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & -2 & 1\end{array}\right)\quad\implies\quad M_B^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & \frac32 & -1\\-1 & 2 & -2\\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$
Wir lesen daraus ab:
$$\vec e_1=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}_B\quad;\quad \vec e_2=\begin{pmatrix}\frac32\\2\\1\end{pmatrix}_B\quad;\quad\vec e_3=\begin{pmatrix}-1\\-2\\-1\end{pmatrix}_B$$

Comments

Vielen Dank.
Das ich mit der Bildung der Inversen auch die Einheitsvektoren bezüglich B erhalte, ist noch mal eine gute Anmerkung :)

Answer 2

Verstehe ich die Aufgabe so richtig? Ja !

Bei e1 wäre das z.B.   e1 = -1 * b1 -1 * b2 + 0 * b3

Comments

Hab vielen Dank :)