Aufgabe:
Text erkannt:
Wir verallgemeinern das Problem aus Aufgabe 1 (c) jetzt durch das Hinzufügen eine Nichtlinearität in jeder Komponente \( (2 \leq i \leq n-1) \) :
\( f_{i}(u):=(A u)_{i}+\lambda u_{i}\left(u_{i}-1\right), \)
sowie \( f_{1}(u)=(A u)_{1} \) und \( f_{n}(u)=(A u)_{n} \). Nun betrachten wir das nichtlineare Problem \( f(u)=b \). Wir wollen dies per Fixpunktiteration lösen. Als Abbruchkriterium wählen Sie bitte für das Residuum \( \|f(u)\|_{2} \leq \) tol mit tol \( =10^{-8} \).
(a) Formulieren Sie \( f(u)=b \) als Fixpunktproblem und implementieren Sie diese Funktion und eine Fixpunktiteration.
Problem/Ansatz:
Ich soll eine Fixpunktiteration mit den Werten n = 5 und lamba = 10-3 durchführen.
Meine Funktion ist u = f(u) + b - u
u ist ein Vektor der folgendermaßen aussieht:
(0.8925567999999999, 0.70288848, 0.51322016, 0.278924, 0.0)
b sieht folgendermaßen aus:
(0.0, 1.115696, 1.115696, 1.115696, 0.0)
f(u) sieht folgendermaßen aus:
(0.0, 1.1154871637353168, 1.1154461747726305, 1.115494874597776, 0.0)
Wie genau muss ich da jetzt vorgehen? Als Hinweis habe ich folgendes bekommen:
Text erkannt:
1. Wähle Startwert \( x^{(0)} \in M \), und setze \( k=0 \).
2. Setze \( x^{(k+1)}:=f\left(x^{(k)}\right) \).
3. Ist
\( d_{X}\left(f\left(x^{(k+1)}\right)-x^{(k+1)}\right)<\epsilon \)
dann STOP, sonst \( k \rightarrow k+1 \) und fahre fort mit 2 .
Ich weiß leider nicht was der Startwert ist und was genau ich bei dx(...) < epsilon einsetzen muss.
Bin dankbar über jede Art der Hilfe!
