Gesucht ist eine Näherungslösung der nichtlinearen Gleichung
$$ 2 x-\tan x=0 $$ im Intervall \( I=[1,1.5] \)
(a) Uberprüfen Sie, welche der beiden Funktionen
(i) \( \varphi_{1}(x)=\frac{1}{2} \tan x \)
(ii) \( \varphi_{2}(x)=\arctan (2 x) \)
die Voraussetzungen des Fixpunkttheorems erfüllt.
(b) Führen Sie für die Funktion(en) aus Aufgabenteil a), für die die Voraussetzungen des Fixpunkttheorems erfüllt sind, ausgehend von \( x_{0}=1.2 \) drei Iterationsschritte durch.
(c) Wie viele Iterationsschritte sind notwendig, um eine Genauigkeit von \( 10^{-4} \) zu erreichen (a-priori-Abschätzung)? Wie genau ist \( x_{3} \) aus Teil
b) (a-posteriori-Abschätzung)? Hinweis: \( x^{k}=y \Leftrightarrow k=\log _{x}(y) \)
Dass man die Gleichung in i) und ii) umformen kann ist mir bewusst und die Ableitungen habe ich bereits auch bestimmt, weiter komme ich jedoch leider nicht. Kann mir jemand helfen ?
ich habe ja keinen bestimmten startwert gegeben oder ähnliches.
Ableitungen sind:
i) 1/2 (1+ tan^2 (x))< 1 ⇒ tan^2 (x)<1
ii) 2/(1+(2x)^2) <1 ⇒ X> 1/2
