Fixpunkttheorem und Fixpunktiteration

Question

Gesucht ist eine Näherungslösung der nichtlinearen Gleichung

$$2 x-\tan x=0$$ im Intervall $I=[1,1.5]$

(a) Uberprüfen Sie, welche der beiden Funktionen

(i) $\varphi_{1}(x)=\frac{1}{2} \tan x$
(ii) $\varphi_{2}(x)=\arctan (2 x)$
die Voraussetzungen des Fixpunkttheorems erfüllt.

(b) Führen Sie für die Funktion(en) aus Aufgabenteil a), für die die Voraussetzungen des Fixpunkttheorems erfüllt sind, ausgehend von $x_{0}=1.2$ drei Iterationsschritte durch.
(c) Wie viele Iterationsschritte sind notwendig, um eine Genauigkeit von $10^{-4}$ zu erreichen (a-priori-Abschätzung)? Wie genau ist $x_{3}$ aus Teil
b) (a-posteriori-Abschätzung)? Hinweis: $x^{k}=y \Leftrightarrow k=\log _{x}(y)$

Dass man die Gleichung in i) und ii) umformen kann ist mir bewusst und die Ableitungen habe ich bereits auch bestimmt, weiter komme ich jedoch leider nicht. Kann mir jemand helfen ?
ich habe ja keinen bestimmten startwert gegeben oder ähnliches.

Ableitungen sind:

i) 1/2 (1+ tan² (x))< 1 ⇒ tan² (x)<1
ii) 2/(1+(2x)²) <1 ⇒ X> 1/2

Answer 1

0,5*tan(x) tut es nicht; denn z.B. für x =1,1 und x = 1,2 ist der

Abstand der Funktionswerte 3x so groß wie der der x-Werte.

Bei arctan(2x) ist die Abl. 2 / ( 4x² + 1)  das ist in dem Bereich immer

kleiner 1.

b) Startwert 1,2 ist gegeben.

f(x)=arctan(2x) gibt f(1,2) = 1,176

f(1,176)=1,169

f(1,169)=1,166

Comments

Ich hätte da noch mal eine Frage zu a) i)

Mir ist das mit dem Abstand noch nicht ganz klar, wenn ich mir den Graph der Funktion anschaue sehe ich bei der Y-Achse keine dreifachen Werte. Kannst du mir das näher erläutern?

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Ich hätte da noch mal eine Frage zu a) i)

Mir ist das mit dem Abstand noch nicht ganz klar, wenn ich mir den Graph der Funktion anschaue sehe ich bei der Y-Achse keine dreifachen Werte. Kannst du mir das näher erläutern?

!Hat sich erledigt! Danke !:)