Gleichung für Fixpunktiteration

Question

Aufgabe:

Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem \( A u=b \) mit \( A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n} \) und \( b \in \mathbb{R}^{n} \) gegeben durch \( a_{1,1}=a_{n, n}=1 \) und für \( i \in\{2, \ldots, n-1\} \) :

\( a_{i, i}=2 \epsilon n^{2}, \quad a_{i, i-1}=a_{i, i+1}=-\epsilon n^{2}, \quad b_{i}=1+m . \)
Hierbei ist \( 0 \leq m<1 \) Ihre Matrikelnummer in Form von Nachkommastellen (Beispiel Matrikelnummer \( 1342498, m=0.1342498 \) ). Alle anderen Komponenten von \( A \) und \( b \) seien Null.
(a) Schreiben Sie ein Programm, dass diese Matrix \( A \) und den Vektor \( b \) für allgemeines \( n \in \mathbb{N} \) und \( \epsilon>0 \) implementiert.
(b) Lösen Sie (mit dem Programm) das obige Gleichungssystem für \( n=100 \) und \( \epsilon= \) \( 0.01 \). Geben Sie die Euklidische Norm \( \|u\|_{2} \) und die Maximumsnorm \( |u|_{\infty} \) aus.
(c) Stellen Sie die Lösung \( u \in \mathbb{R}^{n} \) grafisch dar in der Form \( \left(x_{i}, u_{i}\right) \) mit \( x_{i}=(i-1) /(n-1) \).

Wir verallgemeinern das Problem aus Aufgabe 1(c) jetzt durch das Hinzufügen eine Nichtlinearität in jeder Komponente \( (2 \leq i \leq n-1) \) :

\( f_{i}(u):=(A u)_{i}+\lambda u_{i}\left(u_{i}-1\right), \)
sowie \( f_{1}(u)=(A u)_{1} \) und \( f_{n}(u)=(A u)_{n} \). Nun betrachten wir das nichtlineare Problem \( f(u)=b \). Wir wollen dies per Fixpunktiteration lösen. Als Abbruchkriterium wählen Sie bitte für das Residuum \( \|f(u)\|_{2} \leq \) tol mit tol \( =10^{-8} \).
(a) Formulieren Sie \( f(u)=b \) als Fixpunktproblem und implementieren Sie diese Funktion und eine Fixpunktiteration.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe ein Problem bei der oben stehenden Aufgabe. Ich habe mich durch die ersten Aufgaben gekämpft und bin jetzt bei Aufgabe 2a) gelandet. Leider weiß ich dort nicht so wirklich was und vor allem wie ich diese Aufgabe bearbeiten soll. Mir wurde bereits als Ansatz gegeben, dass ich eine Gleichung der Form g(u) = u aufstellen muss, welche gelöst ist wenn f(u) = b gilt?

Wie mache ich das? Das scheint mir gar nicht so kompliziert zu sein aber ich stehe voll auf dem Schlauch...

Über jede Art der Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

In Vektorschreibweise gilt
\( f(\mathbf{u})=\mathbf{A} \mathbf{u}+\lambda \mathbf{u}^{2}-\lambda \mathbf{u} \)
Sei nun \( \mathbf{u}^{*} \in \mathbb{R}^{n} \) so, dass \( f\left(\mathbf{u}^{*}\right)=\mathbf{b} \) gilt, also
\( \mathbf{A} \mathbf{u}^{*}+\lambda\left(\mathbf{u}^{*}\right)^{2}-\lambda \mathbf{u}^{*}=\mathbf{b} \Longleftrightarrow \frac{1}{\lambda} \mathbf{A} \mathbf{u}^{*}+\left(\mathbf{u}^{*}\right)^{2} - \frac{1}{\lambda}\mathbf{b} =\mathbf{u}^{*} \)
Deine Funktion \( g \) kann also als
\( g(\mathbf{u})=\frac{1}{\lambda} \mathbf{A} \mathbf{u}+\mathbf{u}^{2} - \frac{1}{\lambda}\mathbf{b} \)
gewählt werden. Mit \( \mathbf{u}^{2} \) habe ich den Vektor \( \left[\begin{array}{lll}u_{1}^{2} & \cdots & u_{n}^{2}\end{array}\right]^{\top} \) bezeichnet.

Comments

Was genau bedeutet das hoch t bei dem Vektor u² ?

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Und ist bei mir nicht der Fall, dass Au = b ist? Also wieso benutze ich einmal Au und einmal b?