Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Dreieck PQR mit Q (0/0) und R (u/0) maximal wird.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (3-0,5x) e^0,5x . P (u/f(u)) ist ein Punkt des Graphen von f(x) mit 0≤u≤6 . Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Dreieck PQR mit Q (0/0) und R (u/0) maximal wird.

Problem/Ansatz:

Ist der letzte Teil der Aufgabe, Kurvendiskussion, Wendetangent und Schnittwinkel mit weiterer Funktion habe ich. aber hier bin ich grad ratlos.

Ich weiß noch das man das als Extremwertaufgaben gemacht haben, allerdings ohne Exponentialfunktionen. Wenn ich den Ansatz habe, kann ich es sicherlich selbst rechnen.

Answer 1

Hallo Julian,

Dieses Dreieck \(\triangle QRP\) soll maximiert werden. Die Höhe des Dreiecks ist \(f(u)\) und die Grundseite ist \(|QR|=u\). Also ist seine Fläche \(A\)$$A= \frac12 u f(u) = \frac12 u(3-0,5u)e^{-0,5u}$$... die natürlich von \(u\) abhängt.

Ansatz: leite diese ab und setzte die Ableitung zu 0 und löse dann nach \(u\) auf. Tipp:leite zunächst nur \(f(u)\) nach \(u\) ab und setze das Ergebnis dann hier ein (Produktregel):$$A'(u) = \frac 12(f(u) + u\cdot f'(u))$$Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte

https://www.desmos.com/calculator/rjpivdpgz3

Oben im Bild kannst Du den Punkt \(P\) verschieben. Es werden die Koordinaten von \(Q\), \(R\) und \(P\) angezeigt, sowie die Fläche \(A\) des grünen Dreiecks. Gleiche Dein Ergebnis mit dem Bild ab.

Gruß Werner