Orthogonalsystem mit inneren Produkt zeigen, plus Skalierung für Orthonormalsystem mit sin und cos

Question

$$Sei \\ S=\left\{sin(nx): n \in N,\right\} U\left\{cos(nx): n \in N_{0},\right\}\\ Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad S \quad ein\quad Orthogonalsystem \quad bezüglich \quad des \quad inneren \quad Produkts \\ f,g=\int \limits_{-Pi}^{Pi} f(x)g(x)dx \quad über \quad dem \quad f(x)\quad gehört \quad ein \quad Querstrich\\ ist. \quad Geben\quad Sie\quad eine\quad Skalierung\quad der\quad Elemente\quad an,\quad sodass\quad Sie\quad ein\quad Orthonormalsystem\quad erhalten.$$

Ich habe nun zu erst gezeigt, dass sin(nx) und cos(mx) orthigonal sind, somit ein Orthogonalsystem darstellen, indem ich für f(x) quer sin(mx) und für g(x) cos(nx) eingesetzt habe. Dann hab ich das Integral berechnet, die Grenzen eingesetzt umd komme auf Null, somit orthogonal.

Mir ist nun nicht ganz klar, wie ich da eine Skalierung angeben soll, damit ich ein Orthonormalsystem erhalte. Mir ist zwar klar, das ich hier normalerweise die Orthogonalbasis normiere, hab nur keinen Schimmer wie mir das hier bei der Skalierung helfen könnte.

Vielen Dank für die Hilfe!

Comments

Wenn du ein Orthogonalsystem hast, brauchst nur noch die Vektoren

dieses Systems zu normieren, d.h. durch ihre Länge zu teilen.

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gilt das dann für den sinus und den cosinus genauso? Mir macht die Frage nach der Skalierung so Probleme

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Mir kommt da ein anderes Problem in den Sinn, hast du denn

auch für \(m\neq n\) \(\quad\langle \sin(mx), \sin(nx)\rangle=0\) gezeigt?

Mit der Skalierung ist die Normierung gemeint.

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nein, da ich dachte es reicht mit sin und cos - muss ich das? und auch für cos(mx),cos(nx)?

Bezüglich der Normierung, wäre ja dann mein einer Vektor sinus und der andere cosinus oder denk i da jetzt komplett falsch

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Klar! Du musst ja zeigen, dass ganz S orthogonal ist
und nicht nur jede "Hälfte" elementweise mit der anderen "Hälfte".

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Ok danke schön und das mach ich dann aber auch übers Integral so wie bei sin(mx)cos(nx), oder? und quasi für sinus(mx)sinus(nx) und auch für cos(mx)cos(nx), oder?

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Ja über alle sin-cos-Kombinationen:

denn du nimmst dir ein beliebiges Paar \(f,g\in S\) mit \(f\neq g\)

und zeigst dann \(\langle f,g\rangle = 0\). So ist das gemeint.

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hmmmm, dann hab ich aber das Problem, dass

$$f,g=\int \limits_{-Pi}^{Pi}sin(mx)sin(nx)dx \quad sowie \quad f,g=\int \limits_{-Pi}^{Pi}cos(mx)cos(nx)dx $$

nicht Null ist wenn ich die Grenzen einsetze und somit kein Orthogonalsystem ist, oder?

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Das ist sicher falsch. Die Seite

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Integrate%5Bsin%5C%2840%29x%5C%2841%29sin%5C%2840%292x%5C%2841%29%2C%7Bx%2C-pi%2C%2Bpi%7D%5D

kann dir da bzgl. Anschauung weiter helfen.

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Habe dir ein Beispiel als Antwort vorgerechnet !

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eine kleine verständnisfrage noch, muss ich nun auch zeigen das

$$\int \limits_{-pi}^{pi}sin(mx)cos(nx)dx=0$$

da bekomm ich dann raus

$$\frac{n*sin(mx)sin(nx)+m*cos(mx)cos(nx)}{n^2-m^2}$$

setzte ich da die Grenzen ein, so ist der Zähler Null und somit der ganze Bruch Null, passt das so für diese Rechnung oder reicht es zu zeigen das

$$\int \limits_{-pi}^{pi}sin(mx)sin(nx)dx=0$$

$$\int \limits_{-pi}^{pi}cos(mx)cos(nx)dx=0$$

so wie in deinem vorgerechneten Beispiel

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Das Integral von \(f(x)=\sin(mx)\cos(nx)\) mit \(m\geq 1\)

musst du gar nicht berechnen;

denn \(f\) ist punktsmmetrisch zum Ursprung

(eine ungerade Funktion), also ist ein Integral von -a bis a

immer = 0.

Answer 1

Sei \(m\neq n\). Wir berechnen$$I=\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx) dx$$mit partieller Integration:$$u=\sin(mx),\; u'=m\cos(mx)\\v'=\sin(nx),\; v=-1/n\cos(nx):\\I=\left[-1/n\sin(mx)\cos(nx)\right]_{-\pi}^{\pi}+m/n\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx}_J=m/n\cdot J\\f=\cos(mx),\; f'=-m\sin(mx)\\g'=\cos(nx),\;g=1/n\sin(nx)\\J=[1/n\sin(nx)\cos(mx)]_{-\pi}^{\pi}+m/n\cdot I=m/n\cdot I$$Hieraus folgt$$(1-(m/n)^2)\cdot I = 0,$$ also \(I=0\). Entsprechend für die Cosinus-Integrale.

Comments

super, vielen dank dafür und das gleiche mach ich quasi für cos(mx)cos(nx) und auch für sin(mx)cos(nx)?! Und wie kann ich hier dann die Norm noch berechnen? Vielen Dank für deine Hilfe

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Es ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe:$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)dx=\pi.$$

Das kannst du mit partieller Integration leicht nachprüfen ...

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darf ich dich noch fragen warum ich die Normierung mit partieller Integration zeigen darf?

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Du musst doch \(\sqrt{\langle f,f\rangle}\) bestimmen, um die

"Länge" deiner "Vektoren" zu bestimmen. Wenn ich das richtig

sehe, ist die \(\sqrt{\pi}\) und \(f/\sqrt{\pi}\) hat dann die

Länge 1, oder?