Vorraussetzung für L'Hospital

Question

Aufgabe:

L Hospital

lim x gegen pi       (sin (x)*cos (x))/(e^x*sin(2x))

Problem/Ansatz:

Wenn ich pi einsetze, kommt oben 0,054721 raus und unten 2,5325, somit sind die Voraussetzung für L Hospital nicht gegeben, weil nicht 0/0 oder unendlich/unendlich rauskommt, richtig?

Answer 1

sin(pi) = 0 wenn du im Bogenmaß rechnest. Du musst nur mal den Taschenrechner auf das richtige Winkelmaß stellen.

Comments

Oh man, stimmt :-)

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f(x) = u(x) / v(x)

u(x) = SIN(x)·COS(x)
u'(x) = COS(x)·COS(x) + (SIN(x)·(-SIN)(x))) = COS²(x) - SIN²(x)

v(x) = e^x·SIN(2·x)
v'(x) = e^x·SIN(2·x) + e^x·2·COS(2·x) = e^x·(2·COS(2·x) + SIN(2·x))

lim (x → pi) SIN(x)·COS(x)/(e^x·SIN(2·x))
lim (x → pi) (COS²(x) - SIN²(x))/(e^x·(2·COS(2·x) + SIN(2·x)))
lim (x → pi) 1/(2·e^pi)

Answer 2

L'Hospital gibt hier in der Tat wenig Sinn, obwohl im ungekürzten Bruch

die Gestalt 0/0 bei Einsetzen von \(\pi\) entsteht.$$\lim_{x\to \pi}\frac{\sin(x)\cos(x)}{e^x\sin(2x)}=\lim_{x \to \pi}\frac{1/2\sin(2x)}{e^x\sin(2x)}=\lim_{x \to \pi}1/(2e^{x})=1/(2e^{\pi})$$

Comments

L'Hospital gibt hier in der Tat wenig Sinn

Natürlich führt auch L'Hospital hier zum Ziel. Es ist zwar etwas umständlicher, macht aber trotzdem Sinn.

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Ich muss die Aufgabe auch mit L'Hospital lösen. Nur meine Taschenrechnereinstellung war falsch.

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Da hast du natürlich Recht. Habe mich etwas
zu "grob" ausgedrückt.

Answer 3

Hallo,

vielleicht noch eine Variante / ein Tipp: In dem zu bearbeitenden Term lässt sich ein trivialer Anteil isolieren, es ist

$$\lim_{x \to \pi}\frac{\cos(x)}{\exp(x)}=-\exp(-\pi)$$

Also braucht man nur noch

$$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x)}{\sin(2x)}=\lim_{x \to \pi} \frac{\cos(x)}{2 \cos(2x)}=-0.5$$

klären.

Gruß Mathhilf