Exponentialrechnung, Ableitung und Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:

f(x)=1/4e^x + 2e^-x

Problem/Ansatz:

Sollen Ableiten, und Kurvendiskussion machen. We mach ich das bei unterschiedlichen Exponenten?

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Die Funktion hat keine Nullstellen und eine Extremstelle.$$f^\prime(x)=0\Longrightarrow\tfrac14\mathrm e^x=2\mathrm e^{-x}\Longrightarrow\mathrm e^{2x}=8\Longrightarrow x=\tfrac32\log2.$$

Answer 1

e^x -> e^x

e^-x -> -e^-x

+ Faktorregel anwenden!

Leite summandenweise ab!

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Danke! Gibt es Extrempunkte?

Nullstellen habe ich ja nicht!

Answer 2

f(x)=1/4 * e^x + 2 * e^(-x)
Nullstelle
e Funktionen haben stets positive Werte
1/4 * e^x + 2 * e^(-x) ist stets > 0
keine Nullstelle

Summandenweise ableiten

f ´( x ) = 1/4 * e^x + 2 * e^(-x) * (-1)
f ´( x ) = 1/4 * e^x - 2 * e^(-x)
1/4 * e^x - 2 * e^(-x) = 0
1/8 * e^x = 1 / e^(x)

1/8 * ( e^x)² = 1
( e^x)² = 8
e^x = √ 8
e^x = 2.828  | ln
x * ln(e) = ln(2.628)
x = 1.04
einsetzen
f(1.04)=1/4 * e^1.04 + 2 * e^(-1.04)
f ( 1.04 ) = 1.4142

Stelle mit waagerechter Tangente
( 1.04 | 1.4142 )

Frag weiter bis alle deine Fragen beantwortet sind.

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Okay, vielen lieben Dank für die gute Erklärung.

Eine Sache ist noch gefragt.

Wie muss a gewählt werden, wenn das Extremum von  f_a(x)= 1/4ex + a * e-x an der Stelle x=0,5 liegen soll?

Muss ich den x- wert einfach einsetzen und die Variable a bestimmen?

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f ( x ) = 1/4 * ex + a * e^(-x)

f ´( x ) = 1/4 * e^x + a * e^(-x) * (-1)
f ´( x ) = 1/4 * e^x - a * e^(-x)
1/4 * e^x - a * e^(-x) = 0
x = 0.5
1/4 * e^(0.5) - a * e^(-0.5) = 0

1.6487 * 1/4 - a * 0.6065 = 0
0.4118 = a * 0.6065

a = 0.679

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Sper, so habe ich das auch gedacht. Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

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Gern geschehen.

Answer 3

f '(x)=1/4e^x - 2e^-x

Ist doch nicht so schwierig - oder?

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Unser Lehrer sagt, es gibt ein Extrempunkt, auf den ich definitiv nicht komme. Können Sie mir da bitte weiterhelfen. Ist es richtig, dass ich keine Nullstelle habe?

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Nulllstellen gibt es nicht.

Extrempunkt: 1/4·e^x - 2e^-x =0   |·4e^x

e^2x-8=0 oder e^2x=8   |ln

2x=ln8 oder x=ln8/2.