Partikuläre Lösung-Schritt für Schritt

Question

Aufgabe:

y'''+2y''=8e^2x+4

Problem/Ansatz:

Als Nullstellen der homogenen Löung habe ich Lampda 1,2=0 und Lampda3=-2

Ich verstehe aber absolut nicht, wie ich den partikulären Ansatz machen soll, meine Bücher erklären das sehr unverständlich.

Kann mir jemand mit einer Schritt für Schritt Erklärung helfen?

Vielen Dank schonmal :-)

Answer 1

Hallo,

1. Als Nullstellen der homogenen Lösung habe ich λ_1,2=0 und λ₃= -2 --->das stimmt

2.Part. Ansatz: da es eine Summe ist , muß jeder Summand extra betrachtet werden:

y= y_p1+y_p2

8 e^(2x):

allgemein gilt: yp= C x^k e^ (ax)

k ist die Vielfachheit:

man vergleicht dabei das a in dem Störterm , hier 2 , mit den Lösungen der charakt.Gleichung, hier 0 und -2.

Da keine Übereinstimmung vorliegt, ist die Vielfachheit 0. ->k=0

----> yp1= C x^0 e^(2x)

y_p1=C₁ *e^(2x)

4:

allgemein : y''' a₃+ y''a₂+y'a₁+y a₀= g(x) , g(x) ist der Störterm

Unsere Aufgabe: y'''+2y''=8e^(2x)+4 -------->y' und y=0(nicht vorhanden)

weil y fehlt wird mit x multipliziert

weil y' fehlt wird mit x multipliziert ->insgesamt *x^2

Allgemein laut der Ansatz für den Störterm: = C+Dx+Ex^2+..+

da bei 4     D und E =0 ist, wird nur mit C multipliziert.

deshalb lautet der Ansatz:

y_p2=C₂ *x^2

--->Der Ansatz für die part. Lösung lautet:

3 .y= yp1+yp2 =C₁ *e^(2x) + C₂ *x^2

Answer 2

Offensichtlich muss y'' den konstanten Summanden 2 enthalten, denn dann bekommt 2y''+y'' den Summanden 2*2+0=4.

Offensichtlich muss y'' auch irgendeinen Summanden der Form \( a\cdot e^{ 2x}\) enthalten, denn dann bekommt 2y''+y'' den Summanden \(2\cdot a\cdot e^{ 2x}+a\cdot 2\cdot e^{ 2x}\), und das ist "irgendein Vielfaches von \(e^{2x}\)".

Da konkret die Summe \(8e^{2x}\)" rauskommen soll, ist a offensichtlich 2.

Somit ist also relativ klar, dass y'' die Form \(2+2\cdot e^{ 2x}\) haben könnte.

Schließe daraus auf y und vergiss nicht in jedem Schritt die Integrationskonstanten.