Weisen Sie die Eigenschaften einer Metrik auf X nach.

Question

Aufgabe:

$$\text{ Es seien }(X_{1},d_{1}),...,(X_{n},d_{n})\text{ metrische Räume sowie }X:=X_{1}×  ... ×  X_{n}.$$

$$\text{  Weisen Sie für } d(x,y):=\max\limits_{i=1,...,n}d_{i}(x_{i},y_{i})\text{ die Eigenschaften einer Metrik auf X nach. }$$
Problem/Ansatz:

Dieses Thema ist noch sehr neu für mich, also würde ich mich sehr über Tipps/Anleitungen freuen wie ich solche Aufgaben angehen sollte :)

Comments

Hallo

Symmetrie und positiv sind trivial da die di ja Metriken bestimmen, also musst du nur die Dreiecksungleichung zeigen, wobei du wisst, dass sie für die di gilt.

Gruß lul

Answer 1

Begründe, dass \(d(x,y)\geq 0\) für alle \(x,y\in X\) ist.

Begründe, dass \(d(x,y) = d(y,x)\) für alle \(x,y\in X\) ist.

Begründe, dass \(d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)\) für alle \(x,y,z\in X\) ist.