Mathematik Integralrechnung Abitur

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

mit

Text erkannt:

vom Grad n.
ms so, dass die Fläche, die der Graph von f mit
\( n=3 ; A=216 \)
timmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die der
\( \begin{array}{l} f(x)=x-6+\frac{8}{x} \\ f(x)=\left(x^{2}-4\right)^{2}-2 \\ f(x)=x-\sqrt{x} \end{array} \)

Kann mir jemand bitte bei der Aufgabe mit dem Graphen helfen ? Wenn es geht bitte leicht erklären . Ich wäre sehr dankbar , schreibe nämlich bald mein Mathe Abi

Comments

Das sieht bruchstückhaft aus.

Wie lautet die Aufgabe?

Answer 1

einfache Nullstelle bei x=0 ; doppelte Nullstelle bei x=6 (Minimum)

Nullstellenform der Parabel 3.Grades:

\(f(x)=a*x*(x-6)^2\)

Da keine weiteren genauen Punkte in der Zeichnung ersichtlich sind, ist dies nun eine Parabelschar mit dem Parameter a

Comments

Danke , aber wie kommst du auf diese Formel ? Wieso benutzt du sie ? Und wieso nimmst du die Nullstelle 6 ? Und nicht dir 0? I

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Irgendwie kann ich dir nicht folgen , könntest du es mir bitte nochmal erklären

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Und nicht dir 0? I

Die hat er doch benutzt!

Der Term  a∗x∗(x−6)² enthält den Faktor x.

Wenn man diesen Funktionsterm an der Stelle x=0 ausrechnet, wird er 0, denn dann berechnet man a∗0∗(0−6), und das ergibt 0. Also wurde verwendet, dass x=0 eine Nullstelle ist.

Answer 2

Vermutlich soll das Integral von 0 bis 6 den Wert 216 haben.

f(x)=a•(x³-12x²+36x)

F(x)=a•(0,25x^4-4x³+18x²)+C

F(6)-F(0)=216=a•(324-864+648)

216=108a

a=2

f(x)=2x³-24x²+72x

:-)

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Mit Steckbrief:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f(0)=0=d

f(6)=0=216a+36b+6c

  → 0=   36a+6b+c (*)

f'(6)=0=108a+12b+c

Beide subtrahieren:

0=72a+6b → b=-12a

In (*) einsetzen:

0=36a-72a+c → c=36a

--> f(x)=a•x³-12a•x²+36a•x

-->  f(x)=a•(x³-12x²+36x)

usw.

Comments

Vielen Dank . Aber wie kommst du auf die Funktion ? Könntest du es mir bitte erklären ? Und warum von 0 bis 6 ? Woher weißt du das? Ich meine der Graph verläuft ja noch weiter . Das integral könnte doch von 0 bis 8 gehen

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Vielen Dank . Aber wie kommst du auf die Funktion ? Könntest du es mir bitte erklären ? Und warum von 0 bis 6 ? Woher weißt du das? Ich meine der Graph verläuft ja noch weiter . Das integral könnte doch von 0 bis 8 gehen

Also ich meine f(x)=a*(x^3-12x^2+36 x)

Und könnte man vielleicht auch auf die Endfunktion mithilfe von steckbriefaufgaben kommen ?

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Lautet die Aufgabenstellung nicht so, dass die Fläche von A = 216 die sein soll, die der Graph mit der x-Achse einschließt? Dann sind die Nullstellen die Begrenzungen.

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Also wenn so die Aufgabenstellung immer lautet , dann weiß ich immer, dass die nullstellen die Begrenzungen sind ?

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Ja, so ist es.

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Danke , tut mir leid , dass ich dich nerve aber könntest du mir noch bei einer einzelnen Sache helfen ?

Und zwar wie kommst du auf diese Funktion ?

f(x)=a•(x³-12x²+36x)? Das ist das einzige was ich nicht so ganz verstehe

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Es gibt zwei Nullstellen, eine bei x = 0 und eine doppelte bei x = 6

Wenn es eine doppelte Nullstelle bei x = u gibt, dann weißt du, dass \((x-u)^2\) ein Faktor der Gleichung ist.

Wie Moliets in seiner Antwort schrieb:

einfache Nullstelle bei x = 0

daher \(f(x)=a\cdot x...\)

doppelte Nullstelle bei x = 6: der Faktor \((x-6)^2\) ist in der Gleichung enthalten.

Deshalb: \(f(x)=a\cdot x\cdot (x-6)^2\)

Monty hat die Klammer aufgelöst und mit x multipliziert:

\(f(x)=a\cdot x\cdot (x^2-12x+36)\\ =a\cdot (x^3-12x^2+36x)\)

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Dankeschön :)

Und wie meinst du mit einfache Nullstelle x=0 ? Ich meine irgendwie vertage ich nicht das mit a*x

Könnte man die a*x nicht davon ableiten dass es eine Funktion dritten Grades ist ? Also muss sie ja so ungefähr aussehe ?

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Und was wäre wenn der Graph keine doppelte Nullstelle hätte sondern zwei einfache Nullstellen? Also zum Beispiel 0 und 6 als zwei einfache Nullstellen . Wie würde dann die Funktion aussehen ?

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Mit a·x hast du eine Funktion 1. Grades = Gerade

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Danke für deine Kommentare, Silvia. ☺

@Julia:

Die Funktion habe ich aus Moliets' Antwort genommen und ausmultipliziert.

Die Nullstellen kann man aus der Abbildung ablesen. Wie Silvia schon schrieb, musst du zwischen der einfachen Nullstelle x=0 und der doppelten Nullstelle x=6 unterscheiden.

Dir scheint nicht klar zu sein, wie du mit den Nullstellen auf die Funktion kommst. Dazu musst du die Linearfaktoren verwenden, das sind die Klammern in denen jeweils x minus Nullstelle steht.

Wenn z.B. x=1, x=-2 und x=3 Nullstellen sind, hat die Funktion die Form

f(x)=a•(x-1)(x+2)(x-3)

In der Aufgabe sind x=0 und x=6 Nullstellen. Also könnte man meinen, dass die Funktion so aussieht:

f(x)=a•(x-0)•(x-6)

Dabei ist aber nicht berücksichtigt, dass die Kurve die x-Achse bei x=6 nur berührt. Dort liegt eine "doppelte Nullstelle" vor. Deshalb muss (x-6) noch einmal hinzugefügt werden.

f(x)=a•(x-0)•(x-6)•(x-6)

f(x)=a•x•(x-6)²

Ausmultiplizieren führt zu meiner ersten Zeile.

:-)

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Danke :)

Und wieso a?

Und was wenn die Funktion nur einfache nullstellen hätte, also 0 und 6 wie würde dann die Funktion aussehen ?

Könnte man dieses Problem also die Funktion aufstellen auch mithilfe von steckbriefaufgaben lösen ? Wenn ja könntest du es mir vielleicht zeigen also nur wenn du es auch weißt . Da steckbriefaufgaben viel verständlicher für mich irgendwie ist

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Vielen Dank ich habe es jetzt besser verstanden dnakeschön . Das Problem bei einer anderen Aufgabe war dass der Graph Nullstellen hat aber nur die erste sichtbar gewesen ist und zwar 0 die andere nicht da die Skalierung fehlt .

Könntest du mir vielleicht erklären wie ich auf das Aufstellen der Funktion trotzdem kommen kann ?

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Wie lautet die komplette Aufgabe dazu?

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Hallo,

mit den Nullstellen ist es am einfachsten. Das a ist ein Faktor, durch den die Nullstellen nicht verändert werden. Dadurch wird gewissermaßen die Höhe der Kurve verändert.

Den Wert für a berechnet man mit dem vorgegebenen Flächeninhalt.

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Ich habe ja zwei nullstellen gegeben .

Woher weiß ich dass ich den Faktor a brauche ?

Und diese Aufgabe lautet genau wie die Auflagen die ich hier hochgestellt habe nur das in dem Fall die x Achse keine Skalierung hat und ich somit nicht weiß wie hoch die Nullstelle ist . Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel und hat eine Nullstelle bei x =0 aber die andere kann ich aufgrund der fehlenden Skalierung nicht benennen

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zum Faktor a schau dir bitte mal diese Skizze an:

Zur Parabel:

Kannst du denn in der Skizze den Scheitelpunkt ablesen?

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Zur Parabel :

Auf jeden Fall bei x=2 aber die y Achse ist so ungenau das ungefähr 64

Wieso ?

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Wegen der Symmetrie einer Parabel zu der Senkrechten durch ihren Scheitelpunkt weißt du dann, dass die andere Nullstelle bei x = 4 ist.

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Und wieso brauche ich die 4 jetzt ?

Aber anhand der Banking kann man keine Nullstelle bei x =4 erkennen

Aber bei meiner ursprünglichen Aufgabe. Ich habe jetzt verstanden dass man die Funktion mit den nullstellen aufbauen kann aber wieso bzw. woher weiß ich dass ich das a benutzen muss

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Was fängst du sonst mit A=216 an?

Mit a stellst du die Höhe ein, sodass die Fläche 216 beträgt.

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Und wieso brauche ich die 4 jetzt ?

Weil du den zweiten Grenzpunkt zur Berechnung des Integral haben möchtest.

woher weiß ich dass ich das a benutzen muss

Du hast eben von Steckbriefaufgaben gesprochen. Dabei verwendest du doch auch die allgemeine Gleichung \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).