Es geht um metrische Räume

Question

Aufgabe:

Sei d: R x R ↦ R die  Abbildung

       d(x,y):=   Ix-yI/(1+Ix-yI)  ,   x,y e R     Zu zeigen, dass (R,d) ein metrischer Raum ist.

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht klar, wie ich hier vorangehen soll

Answer 1

Du musst drei/vier Bedindungen zeigen. Einerseits muss die Metrik immer größer 0 sein, d(x,y) muss das gleiche sein wie d(y,x). und die Metrik ist genau dann 0, falls x=y ist. Und anschließend musst du die Dreiecks ungleichung zeigen.

Das schwierige ist hier oftmals die Dreiecksungleichung zu zeigen. Die anderen Bedingungen ergeben sich fast unmittelbar aus der Definition und dem Wissen, dass |x-y| die euklidische Metrik ist und sich somit die Eigenschaften übertragen.

Comments

Fang erstmal mit den einfachen Bedingungen an und taste dich dann an die Dreiecksungleichung ran.

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Das habe ich mir eigentlich schon gedacht, daß ich die Existenz dieser Axiome für metrische Räume hier gültig sind. Ich habe mir dann auch überlegt, wie ich mit dem Bruch umgehen soll. Mein Gedanke war in wie folgt umzustellen, Ix-yI (1+Ix-yl). Aber ich so überhaupt anfangen kann, weiß ich nicht?

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Text erkannt:

Ich habe dir hier mal die erste Bedingung beispielhaft vorgerechnet.

Für die Dreiecksungleichung würde ich, wie ich es dort auch aufgeschrieben habe, meistens rückwärts vorgehen.

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Ich würde die zwei Brüche auf einen bringen :D

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In diesem Zusammenhang wurde in der Lösung auch die Funktion

f(t):= t/(1+t) =1-1/(!+t) genannt., was mit dem Beweis der Dreiecksungleichung zu tun=  hat. Bei einer anderen Lösung wurde der 3.Teil des Beweises, wo es um <= geht anders angegangen. Und zwar wie folgt 1/(d(x,y)) = 1+|x-y|/(|x-y|) =1/(|x-y|+1>= !/(|x-z|+|z-y|)+      |x-z|+|z-y|/(|x-y|+|z-y|) damit könnte ich vielleicht mit klar kommen. Was mir aber nicht klar ist wie ich genau zu dem Umkehrbruch komme, da steht ja zum Schluss 1/(|x-y|)+1 und wie ich dahin komme ist mir nicht klar.

Answer 2

Begründe, dass \(d(x,y)\geq 0\) für alle \(x,y\in \mathbb{R}\) ist.

Begründe, dass \(d(x,y) = d(y,x)\) für alle \(x,y\in \mathbb{R}\) ist.

Begründe, dass \(d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)\) für alle \(x,y,z\in \mathbb{R}\) ist.

Comments

(4) d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y

Answer 3

Zur Dreiecksungleichung:

Die Dreiecksungleichung für Beträge liefert

\(|x-z|=|x-y+y-z|\leq |x-y|+|y-z|\).

Um nicht die Übersicht zu verlieren, setze ich

\(a=|x-z|,\; b=|x-y|,\; c=|y-z|, \;\; \text{ so dass also } a\leq b+c\) gilt.

Hieraus folgt erst recht, dass \(a\leq b+c+2bc+abc\) gilt.

Nun addieren wir auf beiden Seiten \(ab+ac+abc\):

\(a+ab+ac+abc\leq (b+ab+bc+abc)+(c+ac+bc+abc)\)

oder anders geschrieben:

\(a(1+b)(1+c)\leq b(1+a)(1+c)+c(1+a)(1+b)\).

Schließlich teile man die Ungleichung durch \((1+a)(1+b)(1+c)\) ...