Grenzwerte von Reihen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.

(i) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5^{k}} \)

(ii) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k} \)

(iii) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\right)^{k} \)

(iv) \( \sum \limits_{k=3}^{\infty} 3 \cdot 10^{-k} \)

Problem/Ansatz:

Hallo ich habe Probleme mit der Aufgaben versteht hier jemand vielleicht wie ich die Grenzwerte bestimmen kann?

Answer 1

Hallo :-)

Du hast hier Reihen von der Form \(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}, |q|<1\). Auch bekannt als geometrische Reihe.

(i) ist also von der Lösung:

\(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{5^k}=\left (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{5^k}\right)-\frac{1}{5^0}=\frac{1}{1-\frac{1}{5}}-1=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}.\)

Comments

Okay danke jetzt verstehe ich die i) :) sehr hilfreich !! Aber bei der ii komme ich zb nicht weiter weil warum ist dort hoch k zb ? :(

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komme ich zb nicht weiter weil warum ist dort hoch k zb ? :(

Das ist hier die falsche Frage. Die Reihe lautet nunmal so und jetzt musst du nur noch rechnen.

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Hallo eine Frage man muss doch -1 rechnen weil k bei 1 anfängt aber wenn ich dies ausrechne komme ich auf 1/4 auf 5/4 komme ich erst wenn ich nicht minus 1 mache?

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Ah hat sich erledigt bei dir steht auch 1/4 haha leider übersehen

Answer 2

Die ii.) kannst du ähnlich lösen...

Es ist wieder der Ansatz über die Geometrische Reihe:

\(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}, |q|<1\)

und damit ist

 \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k}  = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \)

Die Reihe konvergiert also.

Comments

Vielen Dank für die Antwort

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Hallo eine Frage zu der iii müsste ich dort Wurzel umrechnen ?

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Hallo eine Frage zu der iii müsste ich dort Wurzel umrechnen ?

Nein - einfach in die Gleichung für die unendliche geometrische Reihe einsetzen. Die lautet (s.o.)$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k = \frac1{1-q} \quad\quad |q|\lt 1$$und bei der Aufgabe iii) ist $$q = \frac{\sqrt 3}{1+\sqrt 3}$$also ist $$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{\sqrt 3}{1+\sqrt 3}\right)^k = \frac{1}{1-\frac{\sqrt 3}{1+\sqrt 3}}\\\phantom{\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{\sqrt 3}{1+\sqrt 3}\right)^k} = \frac{1+\sqrt 3}{1+\sqrt 3 - \sqrt 3} = 1 + \sqrt 3$$... das ist alles

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Ja ich habe als Lösung 1 + 3 Wurzel :)

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Bei der letzten Aufgabe bin ich nur am zweifeln ob ich richtig gerechnet habe :

Ich hab dort die 3 mal 1/10 genommen = 3/10

Danach habe ich 3/10 ^ 0 - 3/10^1 - 3/10 ^ 2 genommen da k = 3 ist. Diese dann in Form = 1 geteilt durch 1-3/10 - 1 -3/10 - 9/100 und das Ergebnis ist dann 27/700 ist das so richtig ?

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Ich hab dort die 3 mal 1/10 genommen = 3/10

Vorsicht! Beachte die Priorität der Operationen. 'Mal' geht vor 'Plus' (bzw. Punkt- geht vor Strich-Rechnung) und 'Hoch' geht vor 'Mal'. D.h. wenn dort steht$$3 \cdot 10^{-k}$$so ist das $$3 \cdot 10^{-k}= 3 \cdot \left(10^{-k}\right) \ne \left(3 \cdot \frac1{10}\right)^{k}$$Also ist die \(3\) hinter dem Summenzeichen nur ein Faktor, den man nach vorn ziehen kann. Die Berücksichtigung von \(k=3\) hast Du richtig gemacht. Alles zusammen ist dann$$\begin{aligned}\sum\limits_{k=3}^{\infty} 3 \cdot 10^{-k}&= 3\cdot\left( \sum\limits_{k=3}^{\infty} 10^{-k}\right) \\&= 3\cdot\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(10^{-k}\right) - 1 - \frac1{10} - \frac1{10^2}\right) \\&=3\cdot \left( \frac{1}{1-\frac1{10}} - \left(\frac{100 + 10 + 1}{100}\right)\right)\\&=3\cdot \left( \frac{10}{9} - \frac{111}{100}\right) \\&= 3\cdot\frac{1000 - 999}{900} \\&=\frac1{300}\end{aligned}$$

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Oh okay vielen lieben Dank für die Aufklärung :)

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Bem.: Alternativ zum Abziehen der ersten Glieder der Reihe, wenn \(k\) nicht bei \(0\) anfängt, kann man auch eine sogenannte Indexverschiebung durchführen. Dort steht $$k=3$$wir wollen aber \(\dots = 0\) haben, also ziehen wir auf beiden Seiten \(3\) ab$$k-3 = 0$$Merke: \(k=3\) ist eine Gleichung und bei einer Gleichung kann man auf jeder Seite dasselbe tun (nennt sich Äquivalenzumformung), ohne dass sich die Gleichung und damit die Aussage ändert; es ist also ok! Und das was jetzt links steht, benenne mit einer neuen Variable, z.B. \(m\)$$\underbrace{k-3}_{=m}= 0 \implies m = k-3 \implies k = m+3$$und überall wo \(k\) steht, setzt man den neuen Index ein:$$\begin{aligned}\sum\limits_{k=3}^{\infty} 10^{-k} &= \sum\limits_{m+3=3}^{\infty} 10^{-(m+3)}\\ &=\sum\limits_{m=0}^{\infty} 10^{-m-3}\\ &= \sum\limits_{m=0}^{\infty} \left(10^{-m}\cdot 10^{-3}\right) \\&=10^{-3}\sum\limits_{m=0}^{\infty} 10^{-m} \\&= \frac1{1000} \cdot \frac{1}{1-\frac1{10}} \\&=  \frac1{900}\end{aligned}$$In der dritten Zeile habe ich den konstanten Faktor \(10^{-3}\) wieder aus der Summe heraus gezogen.