Projektion konstruieren und Eindeutigkeit zeigen

Question

Aufgabe:

Seien \(V\) ein \(\mathbb{K}\)-VR und \(U_1, U_2\subseteq V\) Untervektorräume mit \(V=U_{1} \oplus U_{2}\).

(a) Konstruieren Sie eine Projektion \(\pi: V \rightarrow V\) auf \(U_1\) längs \(U_2\) und beweisen Sie, dass \(\pi\) eindeutig ist.

(b) Zeigen Sie, dass \(\mathrm{Id}_{V}-\pi: V \rightarrow V\) eine Projektion ist. Was sind \(\operatorname{ker}\left(\operatorname{Id}_{V}-\pi\right)\) und \(\operatorname{im}\left(\operatorname{Id}_{V}-\pi\right)\)?


Problem/Ansatz:

Zu (a) Behauptung: \(\pi\) ist eindeutig.

Annahme: \(\pi (v_1) \neq \pi (v_2)\) mit

$$V\ni v_1 = u_1\in U_1 + u_2\in U_2$$

und

$$V\ni v_2 = u_1'\in U_1 + u_2'\in U_2$$

$$\pi (v_1) = \pi (v_2) = \pi (u_1 + u_2)= \pi (u_1' + u_2')$$

$$\pi (u_1) + \pi (u_2)= \pi (u_1') + \pi (u_2')$$

Da \(u_2\) und \(u_2'\) aus \(\operatorname{ker}\pi\) sind ergibt sich

$$\pi (u_1)= \pi (u_1')$$

Da \(u_1 = \pi (v_1)\) und \(u_1' = \pi (v_2)\) ist ergibt sich

$$\pi (\pi (v_1))= \pi (\pi (v_2))$$

$$\pi (v_1)= \pi (v_2)$$

Habe ich jetzt die Eindeutigkeit bewiesen?

Zu (b) \(v = v-\pi (v)\)

Comments

Hallo,

ich schreibe mal einen Kommentar, weil Deine Frage so lange nicht beantwortet wurde. Nach meinem Verständnis liegt das daran, dass die Behauptungen der Aufgabe durchweg Aussagen sind die trivial zum Begriff der Projektion gehören, das heißt, ich weiß nicht, was man da zeigen soll. Es kommt wohl auf die Details an, was Ihr in der Vorlesung definiert habt und was durch die Aufgabe ergänzt werden soll.

Jedenfalls, wenn \(V=U_1 \oplus U_2\) ist dann hat jedes \(v \in V\) eine eindeutige Darstellung

$$v=u_1+u_2, \quad u_k \in U_k$$

Damit setzen wir \(Pv:=u_1\) und haben \(v=Pv +(I-P)v\) mit \((I-P)v \in U_2\) (wegen der Eindeutigkeit bei einer direkten Summe.

Was nun b) angeht, so ist

$$v=Pv+(I-P)v=(I-P)v+(I-(I-P))v$$

Das zeigt, dass \(I-P)\) eine Projektion auf \(U_2\) längs \(U_1\) ist. Und daher

$$Kern(I-P)=U_1, \quad Im(I-P)=U_2$$

Musst Du mal mit Deinem Skript überprüfen.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Zu a)

Sei \(v\in V\), also \(v=v_1+v_2\) mit \(v_1\in U_1,\; v_2\in U_2\), wobei wegen

der direkten Summe \(v_1,v_2\) eindeutig durch \(v\) bestimmt sind.

Wenn nun \(\pi\in End(V)\) eine Projektion längs \(U_2\) auf \(U_1\) ist, dann

gilt \(\pi(v)=\pi(v_1)+\pi(v_2)=\pi(v_1)\in U_1\), sei nun

\(\pi(v_1)=u_1\), dann ist \(\pi(u_1)=\pi(\pi(v_1))=\pi(v_1)=u_1\),

folglich \(\pi(v_1)=\pi(u_1)\Rightarrow \pi(v_1-u_1)=0\), also

\(v_1-u_1\in \ker(\pi)=U_2\), d.h. \(v_1-u_1\in U_1\cap U_2=\{0\}\),

so dass also notwendig \(\pi(v)=v_1\) gilt. Dass hiermit \(\pi\) alle geforderten

Eigenschaften besitzt, ist leicht nachzuprüfen.

Zu b)

Wir rechnen in \(End(V)\), wobei \(id_V\) das Einselement ist:

\((id_V-\pi)\circ (id_V-\pi)=id_V\circ id_V-\pi\circ id_V-id_V\circ \pi+\pi\circ \pi=\)

\(id_V-\pi-\pi+\pi=id_V-\pi\), also ist \(id_V-\pi\) eine Projektion ...