Funktionen injektiv, surjektiv

Question

Untersuchen Sie auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.

1) f: ℝ² →ℝ², f(x,y)= (x+y², y+2)

2) f: ℝ² →ℝ², f(x,y)= ( x-y, x²-y²)

Kann mir jemand bitte erklären wie ich hierbei vorgehen kann ? Also mir ist bewusst was injektiv etc. bedeutet, aber woher weiss ich denn bzw. wie finde ich heraus ob die Elemente im Zielbereich wirklich mindestens/maximal einmal getroffen werden ? Danke schonmal.

Comments

Bei (2) gilt offenbar ƒ(x,x) = (0,0) für alle x ∈ ℝ.

Answer 1

1)  injektiv beweist man meistens so, dass man annimmt,

man habe 2 Elemente aus dem Def.bereich, die das gleiche

Bild haben, also f(x,y) = f(a,b)

==>   (x+y², y+2) =  (a+b², b+2)

==> x+y² = a+b² und   y+2 =  b+2

==>  x+y² = a+b² und y =  b.

Einsetzen gibt   x+y² = a+y²

          ==>            x = a

Also insgesamt(x,y)=(a,b), also f injektiv.

Bei surjektiv, beginnst du mit einem Element des

Zielbereiches , also etwa (a,b) und überlegst, ob es

immer ein (x.y) gibt mit f(x,y)=(a,b), also

x+y² = a    und y+2 =  b

Zu b gibt es sicherlich ein y, nämlich y=b-2.

Das kannst du bei der anderen Gleichung einsetzen

x + (b-2)^2 = a

==>    x = a -(b-2)^2 . Das lässt sich auch für alle a,b ausrechnen,

also gibt es zu jedem (a,b) ein (x,y) mit f(x,y) = (a,b).

==>  f surjektiv.