Aloha :)
Bei der Rotation von \(z=\arcsin(x)\) um die \(z\)-Achse, entstehen Kreise mit Radius \(x\). Daher können wir die Raumfläche in Zylinderkoordinaten parametrisieren, indem wir \(x\) durch den Polarradius \(r\) ersetzen:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos(\varphi)\\r\sin(\varphi)\\\arcsin(r)\end{pmatrix}\quad;\quad r=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
Zur Angabe der Tangentialebene an den Punkt \((x|y|z)=\left(\frac12\big|\frac12\big|z\right)\) mit \(z\in\left(0\big|\frac\pi2\right)\) brauchen wir die Darstellung dieses Punktes in Zylinderkoordinaten$$r=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{1}{\sqrt2}\quad;\quad\varphi=\arctan\left(\frac{1/2}{1/2}\right)=\frac\pi4$$
um zwei Richtungsvektoren zu bestimmen$$\vec e_r=\frac{\partial\vec r}{\partial r}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\frac\pi4\\[1ex]\sin\frac\pi4\\[1ex]\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\sqrt2\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$$$$\vec e_\varphi=\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}=\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sin\left(\frac\pi4\right)\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\cdot\cos\left(\frac\pi4\right)\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\[1ex]\frac{1}{2}\\[1ex]0\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$
sodass wir damit eine mögliche Darstellung der Tangentialebene angeben können:$$\vec t(r,\varphi)=\begin{pmatrix}\frac12\\[1ex]\frac12\\[1ex]z\end{pmatrix}+\left(r-\frac{1}{\sqrt2}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\left(\varphi-\frac\pi4\right)\cdot\frac12\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\vec t(r,\varphi)=\begin{pmatrix}\frac12\\[1ex]\frac12\\[1ex]z\end{pmatrix}+\frac{r}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}-\frac12\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\frac{\varphi}{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}-\frac{\pi}{8}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\vec t(r,\varphi)=\begin{pmatrix}\frac\pi8\\[1ex]-\frac\pi8\\[1ex]z-1\end{pmatrix}+\frac{r}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\frac{\varphi}{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$
Da du in der Ebenengleichung \(r\) und \(\varphi\) frei wählen kannst, würde ich noch \(\frac{r}{\sqrt2}\) durch \(\lambda\) und \(\frac\varphi2\) durch \(\mu\) ersetzen und \(\frac\pi8\) des hinteren Richtungsvektors zum Ankerpunkt addieren:$$E:\,\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\z-1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$
