Hallo,
wir verwenden für die Lösung den Satz von Biename. Dieser ist hier anwendbar, da erstens die Zufallsvariablen \(X,Y\) als unabhängig und identisch verteilt, d.h. i.i.d., gelten und zum anderen, da das erste Moment endlich ist. Die zweite Bedingung ist allerdings schwächer als die erste und sollte nicht als einziges Argument für die Anwendbarkeit des Satzes gelten. Wir berechnen also
\(\mathbb{V}(X^2+Y^2) \stackrel{Biename}{=}\mathbb{V}(X^2)+\mathbb{V}(Y^2)\stackrel{Unabh}=(\mathbb{E}(X))^2\mathbb{V}(X)+(\mathbb{E}(X))^2\mathbb{V}(X)+2\mathbb{V}(X)+(\mathbb{E}(Y))^2\mathbb{V}(Y)+(\mathbb{E}(Y))^2\mathbb{V}(Y)+2\mathbb{V}(Y)\stackrel{a=0;b=5}{=}10+10=20\)