N(a, b^{2}), a=0, b^{2}=5 \quad \operatorname{var}(X^{2}+Y^{2})=?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( X, Y \) i.i.d. \( N\left(a, b^{2}\right), a=0, b^{2}=5 \quad \operatorname{var}\left(X^{2}+Y^{2}\right)=? \)

Comments

Kannst du uns auch noch sagen, was i.i.d. bedeutet?

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Independent Ident

Ich weiß nicht wie man das löst.

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Die Verwendung der Variablen a und b² ist untypisch. Sind damit möglicherweise µ und σ² gemeint sein?

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Ja. A ist erwartungswert und b ist Varianz

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Die Verwendung der Variablen a und b² ist untypisch. Sind damit möglicherweise µ und σ² gemeint?

Deine Antwort

Ja. A ist erwartungswert und b ist Varianz

hätte ich gern nochmal explizit bestätigt bekommen.

Ist dann b² das Quadrat der Varianz?

Oder ist b² die Varianz und b "nur" die Standardabweichung?

Answer 1

Hallo,

wir verwenden für die Lösung den Satz von Biename. Dieser ist hier anwendbar, da erstens die Zufallsvariablen \(X,Y\) als unabhängig und identisch verteilt, d.h. i.i.d., gelten und zum anderen, da das erste Moment endlich ist. Die zweite Bedingung ist allerdings schwächer als die erste und sollte nicht als einziges Argument für die Anwendbarkeit des Satzes gelten. Wir berechnen also

\(\mathbb{V}(X^2+Y^2) \stackrel{Biename}{=}\mathbb{V}(X^2)+\mathbb{V}(Y^2)\stackrel{Unabh}=(\mathbb{E}(X))^2\mathbb{V}(X)+(\mathbb{E}(X))^2\mathbb{V}(X)+2\mathbb{V}(X)+(\mathbb{E}(Y))^2\mathbb{V}(Y)+(\mathbb{E}(Y))^2\mathbb{V}(Y)+2\mathbb{V}(Y)\stackrel{a=0;b=5}{=}10+10=20\)